Sono un ingegnere elettronico che sviluppa software da quasi 30 anni.

Ho iniziato con il firmware in assembler e C per le macchine automatiche, per finire con applicativi web in Java e le App.

In questi 30 anni ho capito che per realizzare un buon software è necessario:

  • creare una architettura valida secondo gli standard OO e le "Best Practices",
  • il software deve mappare gli oggetti del mondo reale,
  • conoscere bene il problema.

Lavoro alla Smart.it azienda orgogliosa delle sue capacità di comunicare sul web e delle sue realizzazioni software, e questo è quello che un nostro importante cliente dice di noi:

"Di Smart apprezziamo la competenza nel progettare architetture software, la professionalità nell’assumersi responsabilità su costi e tempi, la disponibilità nel farsi carico delle nostre esigenze."

La musica liquida che ascolto

Qualche appunto, domanda, che mi sono fatto sulla Fisica, mia passione dai tempi del Liceo

... anche se quello che so di fisica si può riassumere in queste immagini

   



Pagina in creazione: appunti +/- sparsi



  • Proprietà, misura, grandezza fisica
  • Principio di sovrapposizione
  • Segnali
  • Stato di un sistema, osservabile
  • Tempo, spazio, evento
  • Materia e campo
  • Interazione, campo di forza, forza, potenziale
  • Onde
  • Fisica classica
  • Meccanica quantistica e fisica classica
  • Meccanica quantistica
  • La misura in meccanica quantistica e significato fisico della Ψ
  • Una lettura un po' diversa della Ψ (queste sono mie personali idee quindi con nessuna validità scientifica!)
  • Bibliografia

  • Physics is very interesting. There are many, many interesting theorems. Unfortunately, there are no definitions.
    David Kazhdan
  • Quanto è sorpassata quella concezione della scienza che si esprimeva col dire "definisci i termini che impieghi, prima di procedere"! Ogni passo avanti della conoscenza umana che sia realmente creativo è così fatto che teorie, leggi, metodi di misura - inseparabili per sempre - vengono al mondo insieme.
    E. F. Taylor, J. A. Wheeler: Spacetime Physics
  • Ogni esame serio di una teoria fisica deve tener conto della distinzione tra la realtà oggettiva, che è indipendente da qualsiasi teoria, e i concetti fisici con i quali la teoria opera. Questi concetti sono intesi corrispondere alla realtà oggettiva e mediante questi concetti ci formiamo un'immagine di questa realtà.
    [Einstein 1935]
  • ... dovremmo ricordare che il principale obiettivo delle scienze fisiche non è la fornitura di modelli, ma la formulazione di leggi che governano i fenomeni e l'applicazione di queste leggi per la scoperta di nuovi fenomeni. Se un modello esiste è molto meglio, ma il fatto che esista o meno è una questione di secondaria importanza.
    P.A.M. Dirac - The principles of quantum mechanics - 4ª ed. Oxford Clarendon Press 1958 - Cap. 1.

 

"Ogni teoria fisica rende conto dei processi fisici per mezzo di un formalismo matematico che precisa come debbano descriversi gli stati dei sistemi fisici cui siamo interessati, quali enti vadano associati alle quantità fisicamente misurabili, come dalla conoscenza dello stato del sistema ad un certo istante si possa passare alla conoscenza dello stato in tempi successivi e, infine, come da esso possano ottenersi informazioni circa gli esisti di futuri processi di misura".

[Dal libro "Un'occhiata alle carte di Dio" di Gian Carlo Ghirardi, pag.340]

Si legge spesso che la fisica è la scienza che cerca di comprendere come funzionano le cose e spesso si legge anche che la fisica è la scienza che cerca semplicemente di fare previsioni. Queste due definizioni non sono in contrasto in quanto per verificare se abbiamo effettivamente compreso occorre mettere in relazione quello che c'è in questo momento con che quello che ci sarà dopo e potere verificare il prima e il dopo in modo oggettivo. Per essere oggettivi la fisica utilizza modelli matematici che forniscono dei numeri da confrontare con i risultati degli esperimenti.

In altre parole, per descrivere un processo fisico si determina un'equazione o un algoritmo che lo modella, a tale modello poi si deve dare "un significato fisico" o "interpretazione": questo significa associare agli elementi e alle operazioni sul modello delle procedure di misura che devono fornire gli stessi valori,a meno dell'errore di misura, di quelli calcolati tramite il modello.

La fisica attuale si può suddividere in quattro grandi aree:

  • la fisica classica, sviluppata prima del 1900, che comprende la meccanica classica per corpi che si muovono a velocità molto minori di quella della luce e l'elettromagnetismo, comunque relativamante a fenomi in cui l'azione è molto maggiore di \(\small h \)
  • la relatività ristretta e generale che descrive la dinamica dei corpi che si muovono a anche velocità prossime a quella della luce
  • la meccanica quantistica non relativistica, normalmente chiamata anche seplicemente meccanica quantistica, che riesce a descrivere i fenomeni in cui l'azione è dell'ordine di grandezza di \(\small h \), ma con velocità molto minori di quella della luce
  • la teoria quantistica dei campi, che riesce a descrivere i fenomeni in cui l'azione è dell'ordine di grandezza di \(\small h \) e con velocità prossime a quella della luce.

«Possiamo conoscere qualcosa dell'oggetto di cui stiamo parlando solo se possiamo eseguirvi misurazioni, per descriverlo mediante numeri; altrimenti la nostra conoscenza è scarsa e insoddisfacente. »
[Lord Kelvin 1883]

Le proprietà di un 'qualcosa' sono le caratteristiche quantitative e qualitative che lo definiscono e lo distinguono. Se ad una di queste caratteristiche tramite un ben specificato e condiviso procedimento operativo si riesce ad associare un numero ed un riferimento allora questa prende il nome di grandezza fisica. Il numero è il valore della misura, il riferimento può essere una unità di misura, una procedura di misura, o un materiale di riferimento, o una loro combinazione. Il valore di un misura può essere scalare o vettoriale.

La misurazione è l'attività svolta per assegnare una misura, ossia un valore, ad una particolare proprietà fisica, il misurando. Spesso si usa il termine misura anche per indicare l'attività di misura, ossia la misurazione. Con il termine misurando non ci si riferisce all'ente su cui si sta eseguendo una misurazione, ma ad una specifica grandezza che caratterizza quest'ultimo. Per esempio, quando rileviamo la temperatura di un liquido, il misurando non è il liquido, ma la temperatura del medesimo.

In fisica classica si suppone che si riesca sempre a compiere una misurazione senza modificare il valore del misurando e delle altre grandezze fisiche o, perlomeno, modificandole in modo controllabile e quantificabile. Esempio: per misurare la temperatura di un liquido si inserisce una sonda che potrebbe modificarne la temperatura ed il volume in modo significativo, ma si può tenere conto di questo effetto conoscendo la capacità termica ed il volume della sonda. Oppure se misuriamo il volume di un liquido, questo si riesce a fare senza modificare la sua temperatura, oppure siamo in grado di quantificare gli effetti di questa misura su di essi.

Per determinare una grandezza fisica possiamo utilizzare misure dirette o indirette. La misura si dice diretta quando si confronta direttamente la grandezza misurata con l’unità di misura (campione) o suoi multipli o sottomultipli; come esempio, la misura di una lunghezza mediante un regolo graduato é una misura diretta. E una misura diretta anche quella effettuata mediante l’uso di strumenti pretarati (ad esempio la misura della temperatura mediante un termometro), che si basa sulla proprietà dello strumento di reagire sempre nella stessa maniera quando viene sottoposto alla medesima sollecitazione. Misure indirette sono invece quelle in cui non si misura la grandezza che interessa, ma altre che risultino ad essa legate da una qualche relazione funzionale; così la velocità di un’automobile può essere valutata sia direttamente (con il tachimetro) sia indirettamente: misurando spazi percorsi e tempi impiegati, dai quali si risale poi alla velocità (media) con una operazione matematica.

Le procedure di esecuzione di una misura devono essere specificate in modo tale da rendere noto e prevedible l'errore con cui si può determinare il valore della misura: questo è ciò che veramente distingue la scienza, di cui la fisica è una parte, da altre discipline che pretendono anch'esse di descrivere e fare previsioni, ma senza definire l'errore e quindi rimangono impossibilitate a verificare la validità delle loro previsioni.

Quindi si può dire che la fisica studia tutto ciò a cui può essere associato ad una grandezza fisica tramite una procedura di misura cercando le leggi/equazioni che relazionano tali grandezze. Questo 'qualcosa' a cui si associano grandezze fisiche viene chiamato ente o fenomeno fisico.

Una misurazione corretta avviene nei laboratori in quanto si vogliono ottenere risultati validi e ripetibili, ma non sono un cosa che ha senso solo lì: queste 'avvengono' anche in ogni momento in natura nel senso che un ente fisico evolve nel tempo, reagisce ad una data situazione, in base ai valori delle sue grandezze fisiche. Faccio un esempio: quando elettrone incontra un campo elettrico in base ai valori delle grandezze fisiche presenti in quel momnento fa una cosa o un'altra, la misurazione cerca di determinare tali valori. Questa associazione misurazione/comportamento della natura è alla base di tutta la fisica.

"In fisica, principio, detto anche principio di sovrapposizione degli effetti, secondo il quale ogni qualvolta un certo effetto dipende linearmente da più cause tra loro indipendenti, esso risulta come somma degli effetti singolarmente prodotti da ciascuna causa. Dato il gran numero di fenomeni svolgentisi in condizioni lineari, il principio trova applicazione in moltissimi casi. Per es., esso si particolarizza nel principio di sovrapposizione dei campi elettrici, secondo il quale il campo (o il potenziale del campo) prodotto nel vuoto da più cariche è la somma dei campi (o dei potenziali) prodotti separatamente dalle varie cariche; e analogamente per i campi magnetici e più in generale per i campi elettromagnetici (e quindi anche in ottica), in virtù della linearità delle equazioni dell’elettromagnetismo. Particolarmente importante, ai fini delle applicazioni pratiche, è la larga validità del principio nel campo dei fenomeni meccanici: è per suo mezzo, per es., che possono essere notevolmente semplificati, mediante i procedimenti dell’analisi armonica, molti problemi relativi a sistemi vibranti. In meccanica quantistica, il principio di sovrapposizione stabilisce che due, o più, stati di un sistema possono essere combinati linearmente, con coefficienti in generale complessi, per formare (un numero infinito di) altri stati." [Treccani alla voce "sovrapposizione, principio di"] .

In termini di grandezze fisiche: se una certa causa determina una proprietà fisica, ossia determina il valore di una grandezza, la presenza di più cause contemporanemente ha come risultato la somma di tutte le misure eseguite singolarmente con ciascuna causa. Questa proprietà permette trattare il problema di cause multiple: si considera un problema distinto per ogni causa, se ne trova per ciascuna la soluzione, poi si sommano le soluzioni. Tale somma è la soluzione del problema in cui le tutte le cause agiscono contemporaneamente. Dire che è valido il principio di sovrapposizione non è un'asserzione insignificante o banale, ma implica che la presenza di ciascuna causa singola non altera l'effetto delle altre cause e questo si può determinare solo sperimentalmente.

Supponiamo di misurare la grandezza \(\small g_1 \) in presenza solo di una certa causa e la grandezza \(\small g_2 \) in presenza solo di un'altra a causa: quando agiscono entrambe in generale si misurerà la grandezza \(\small g = f(g_1, g_2)\) e se vale il principio di sovrapposizione allora si avrà \(\small g = f(g_1, g_2) = g_1 + g_2\). La somma avviene considerando anche il segno e quindi si ha che \(\small |g| \le |g_1| + |g_2|\) e se \(\small g_1 \) e \(\small g_2 \) sono uguali in modulo ma di segno opposto si ha \(\small g = 0 \).

Se in una stanza è presente la stufa \(\small S_1 \) si misura un temperatura \(\small T_1 \), se presente la stufa \(\small S_2 \) la temperatura \(\small T_2 \): con entrambe le stufe si ha \(\small T = f(T_1, T2) \ne T_1 + T_2 \): non vale il principio di sovrapposizione.

Se la carica \(\small Q_1 \) genera il campo eletrico \(\small E_1 \) e la carica \(\small Q_2 \) genera il campo eletrico \(\small E_2 \), allora con la presenza di entrambe le cariche si ha il campo eletrico \(\small E = E_1 + E_2 \): vale il principio di sovrapposizione.

Segnale: una funzione di una o più variabili, che contiene informazioni relative ad un fenomeno fisico.

[Valentino Liberali, Università degli Studi di Milano]

I sistemi materiali da quelli più semplici a quelli più complicati comunicano attraverso segnali. Un esempio di segnale è la variazione nel tempo di una grandezza fisica, nel caso più semplice una grandezza fisica scalare come una differenza di potenziale. Si può chiamare segnale anche la risposta di uno strumento di misura alla variazione della grandezza fisica alla quale esso è sensibile.

[Giampiero Paffuti, Università di Pisa]

Una grandezza fisica che è funzione di altre grandezze è analizzabile tramite la teoria dei segnali. I segnali rappresentano il comportamento di grandezze fisiche (ad es. tensioni, temperature, pressioni, ...) in funzione di una o più variabili indipendenti (ad es. il tempo t, lo spazio x, ... ) e quindi rappresentano l'informazione di come varia una grandezza fisica al variare delle altre grandezze e si intende una qualunque funzione \(\small g= f(v) \) dove \(\small g\) e \(\small v\) sono grandezze fisiche. Le grandezze fisiche possono essere scalari o vettoriali, reali o complesse. Ad esempio il suono è un segnale monodimensionale \(\small y = f(t) \) dove \(\small y\) è l'ampiezza dell'oscillazione dell'aria o di un altro mezzo in funzione del tempo \(\small t \), un’immagine (fotografia) è un segnale bidimensionale \(\small \vec{I} = f(x,y) \) dove \(\small \vec{I} \) è un vettore che rappresenta le componenti RGB del colore, \(\ f \) è la funzione che definisce \(\small \vec{I} \) per ogni coordinata spaziali\(\small x,y \).

Energia e potenza di un segnale \(\small g= f(v) \)

Per i segnali si utilizzano le seguenti definizoni fondamentali:

  • energia: \(\small E_f \equiv \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(v)f^*(v)dv = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(v)|^2dv \)
  • potenza media \(\small P_f \equiv \lim\limits_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} |f(v)|^2 dv \);
  • energia mutua di di \(\small x(v) \) e \(\small y(v) \) \(\small E_{xy} \equiv \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(v)y^*(v)dv \). Normalmente \(\small E_{xy} \ne E_{yx} \) e se \(\small E_{xy} = 0\) allora anche \(\small E_{yx} = 0\) e si dice che i segnali sono ortogonali.
  • potenza mutua di di \(\small x(v) \) e \(\small y(v) \) \(\small P_{xy} \equiv \lim\limits_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} x(v)y^*(v) dv \). Normalmente \(\small P_{xy} \ne P_{yx} \) e se Se \(\small P_{xy} = 0\) allora anche \(\small P_{yx} = 0\) e si dice che i segnali sono ortogonali
  • se \(\small z(v) = x(v) + y(v) \) allora si ha \(\small E_{z} = E_x + E_y + E_{xy} + E_{yx}\) e \(\small P_{z} = P_x + P_y + P_{xy} + P_{yx}\)
  • segnale di energia \(\small 0 \lt E_f \lt \infty \): se ha energia finita e non nulla, un segnale ha energia nulla solo se è identicamente nullo e non interessa analizzarlo. Un segnale è a energia finita se è definito su un insieme finito \(\small [v_a, v_b] \) oppure se tende a zero molto velocememte (tecnicamente si dice che sono funzioni che appartengono a \(\small l^2 \), funzioni a quadrato sommabile).
  • segnale di potenza (( \(\small 0 \lt P_f \lt \infty \)): se ha una potenza media finita e non nulla. I segnali di potenza hanno energia infinita: un segnale è di potenza o di energia.
  • qualunque segnale fisico ha energia finita, ma molte volte si trattano anche i segnali periodici che sono di potenza, come approssimazione di un segnale finito che si ripete, in quanto possono essere trattati matematicamente in modo agevole.

Nota: non si tratta di potenze ed energie 'fisiche' espresse in watt e joule, ma di potenze ed energie “normalizzate” le cui unità di misura dipendono dall’unità di misura di \(\small g \), ossia i termini potenza ed energia dei segnali non si riferiscono direttamente alla definizione di potenza ed energia usate normalmente in fisica anche se sono ad esse strettamente collegate: ad esempio se il segnale rappresenta una tensione \(\small v = v(t) \) ai capi di una resistenza R, la potenza e l'energia dissipata sulla resistenza sono \(\small p(t)_{[J/s]} = \frac{|v(t)|^2}{R} \) e \(\small E_{[J]} = \frac{1}{R}\int_{-\infty}^{+\infty} |v(t)|^2dt\) che coincidono con quelle definite per i segnali nel caso di R = 1 Ohm , per cui si parla anche di energia e potenza normalizzata.

Segnali periodici

Un segnale è periodico di periodo \(\small T \) se \(\small f(v) = f(v + T) \) per qualunque \(\small v \): sono segnali di potenza (ossia ad energia infinita) e si ha \(\small P_f = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} |f(v)|^2 dv \)

Questa tipologia di segnali è importante perchè qualunque segnale \(\small g = f(v) \) di energia o potenza può essere 'scomposto' come somma o integrale di segnali periodici.

- Segnale sinusoidale

Un segnale periodico sinusoidale \(\small f(v) = A sin(2π\frac{v}{T} + \varphi) = A sin(ωv + \varphi) = A sin(2πfv + \varphi)\) è univocamente determinato da 3 parametri: ampiezza \(\small A\) , periodo \(\small T\) ( o frequenza \(\small f = \frac{1}{T}\) o pulsazione \(\small ω = 2π\frac{1}{T} = 2πf\) ) e fase \(\small \varphi\).

Come qualunque segnale periodico è un segnale di potenza: \(\small P_{f} = \frac{A^2}{2}\) e l'energia \(\small E_f = \infty \) è infinita.

- Segnale esponenziale complesso

Il segnale \(\small f(v) = A e^{i2π\frac{v}{T}} = A [cos(2π\frac{v}{T}) + \imath sin(2π\frac{v}{T})]\) è periodico di periodo \(\small T \) e di potenza \(\small P_{f} = A^2\).

 

http://home.deib.polimi.it/bellini/fond_segnali_trasm/fond_segnali_trasm.html
http://www.tlc.polito.it/~perotti/it/ce/2-Segnali.pdf
serie e traformata di fourier
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http://www.df.unipi.it/~paffuti/Biotec2012/
https://www.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=10725478&name=DLFE-140459.pdf
“La radiazione emessa, per mezzo della frequenza e dell'intensità, fornisce un quadro dell'orbita elettronica; essa rappresenta ciò che i matematici chiamano espansione di Fourier dell'orbita. Veniva da sé l'idea che le leggi meccaniche dovessero venir scritte non come equazione delle posizioni e delle velocità degli elettroni ma come equazioni delle frequenze e delle ampiezze della loro espansione di Fourier” (Heisenberg, Fisica e filosofia)
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8788
Infine sia per i segnali determinati che casuali è importantissimo sapere che la densità spettrale3 di un segnale è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione.
La trasformata inversa di uno spettro di potenza rappresenta l’autocorrelazione del segnale.
http://www.quellidiinformatica.org/upload/1/0/E.Conte.pdf
Ingresso uscita come trasferimento di energia
http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_01.pdf
http://www.iet.unipi.it/n.vanello/Dispense/2010_2011/Energia_Potenza.pdf
http://www.iet.unipi.it/n.vanello/mat_did_met_11_12.html
http://www.giacobbe85.altervista.org/down/elettro/Teoria_dei_segnali/Legame_e_significato_fisico_della_Serie_e_della_Trasformata_di_Fourier.pdf
serie e traformata di fourier

http://www.labinf.polito.it/tibaldi/MyDocs/segnali.pdf
Segnali trattati come vettori
http://mariobon.com/Articoli_nuovi/020_teoria_dei_segnali.htm
--------------------------------
http://www.tti.unipa.it/mamola/Fondamenti%20di%20Com.%20Elettriche%20(ELN)/Parte%20I/Cap.%20I%20Spazio%20dei%20segnali.pdf
Spazio dei segnali
http://crema.di.unimi.it/~liberali/teoriasegnali/appunti.html
--------------------------------
http://www.fis.unical.it/files/fl178/2753trasformataFourier2D.pdf
Esempi di fourier per funzioni non dipendenti dal tempo
teorema di Wiener Khintchine
Spiegazione relazione enrgia, intensità fourier
http://it.scienza.fisica.narkive.com/B1Sc7d34/energia-potenza-ed-intensita-di-un-onda

http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/pdf_metodi/metodi_libro2014_03.pdf
http://www.mat.unimi.it/users/gaeta/FM2/FT.pdf
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/lodone.pdf
http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/PDF/DispenseCE_E_P.pdf
http://it.appunti.wikia.com/wiki/Teoria_ed_elaborazione_dei_segnali:Segnali_e_vettori
http://it.appunti.wikia.com/wiki/Teoria_ed_elaborazione_dei_segnali:Propriet%C3%A0_trasformata
https://etd.adm.unipi.it/theses/available/etd-10082004-144256/unrestricted/06AppendiceA.PDF
http://home.deib.polimi.it/tubaro/ENS2/Segnali_Ndim.pdf
http://m.docente.unife.it/dleglc/note-corso-integrativo-2009/unita_di_misura.pdf
http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/
http://www.treccani.it/enciclopedia/geometria-non-commutativa_(Enciclopedia-del-Novecento)/
http://www.quellidiinformatica.org/upload/1/0/E.Conte.pdf

è analizzabile tramite la tera dei segnali Un segnale è una funzione del tempo o dello spazio o di altre grandezze fisiche che rappresenta una grandezza fisica.

Una grandezza fisica che è funzione di altre grandezze fisiche può essere analizzata tramite la teoria dei segnali che permette di definirne proprietà e caratteristiche comuni.

La parola sistema sta ad indicare l'insieme di più enti/oggeti fisici tali per cui si possono deteminare grandezze fisiche associabili all'intero sistema o singolarmente a ciascuna parte. Il valore di una grandezza di una parte o del tutto può dipendere dal valore delle grandezze delle altre parti.

Lo stato di un sistema è l'insieme dei valori delle grandezze fisiche che lo definiscono ed è sempre pensato essere oggettivamente posseduto dal sistema: ogni grandezza fisica possiede un valore indipendentemente dal fatto che esso venga o meno misurata e, cose ancora più importante, questo valore è anche indipendente dal fatto che misuriamo o meno altre grandezze fisiche.

Se l'esecuzione di un misura di temperatura al tempo \(\small t_1 \) fornisce il valore \(\small T_1 \), si dice che il sistema al tempo \(\small t_1 \) ha temperatura \(\small T_1 \), se una misura di volume al tempo \(\small t_1 \), su un sistema preparato in modo identico al primo, fornisce il valore \(\small V_1 \) , si dice che il sistema al tempo \(\small t_1 \) ha volume \(\small V_1 \), ma possiamo anche continuare a dire che il sistema al tempo \(\small t_1 \) ha temperatura \(\small T_1 \) e utilizzare tale valore per analizzare il comportamento del sistema per gli istanti successivi. E' possibile anche determinare una procedura che misuri contemporaneamente i valori di temperatura e misura e anche in questo caso si può dire che il sistema al tempo \(\small t_1 \) ha temperatura \(\small T_1 \) e volume \(\small V_1 \).

Osservabile

"Si dice di grandezza che ha la proprietà dell’osservabilità, è cioè suscettibile di essere misurata. Le variabili dinamiche di un sistema fisico che siano suscettibili di determinazione sperimentale sono chiamate le osservabili del sistema: ogni teoria che pretenda di descrivere il comportamento del sistema deve essere in grado di fare previsioni sulle sue osservabili." [Treccani alla voce "osservabile"]

"Di ogni grandezza suscettibile di misurazione e quindi esprimibile con misure alla cui accuratezza non v'è limite all'infuori di quello posto dagli strumenti di misurazione e il cui valore può essere valutato in termini deterministici a partire dalle leggi in cui tali grandezze compaiono" [Treccani alla voce "osservabile del Dizionari delle Scienze Fisiche"]

Osservabile è un sinonimo di grandezza fisica. In alcune occasioni gli viene dato un significato leggermente diverso, nel senso che per grandezza fisica si intende una proprietà di un ente fisico misurabile e con un determinato valore, invece per osservabile si può intendere che per il sistema è possibile eseguire una misurazione per determinare e valorizzare una grandezza fisica: una particella ha una posizione (grandezza fisica), per una particella è possibile misurare la posizione (osservabile). In fisica classica sono sinonimi in quanto una grandezza di ente fisico ha sempre un ben determinato valore, sia che lo abbiamo misurato o meno.

In tutte le leggi fondamentali della fisica compaiono le due variabili \(\small \vec{x} \) e \(\small t \), punto nello spazio e tempo, e quindi ad esse devono essere associate delle quantità fisicamente misurabili, delle grandezze fisiche.

La fisica moderna pur continuando ad utilizzare le parole del linguaggio comune tempo e spazio ha dato ad esse un significato che esula da considerazioni metafisiche. Per spazio e tempo si intendono i risultati di operazioni di misura da associare alle variabili \(\small \vec{x} \) e \(\small t \) e quindi, in questo senso diventano grandezze fisiche.

Tempo

Per misurare il tempo si utilizza un orologio: qualunque cosa che ci permette di ottenere una sequenza di numeri crescenti. Eseguire una misura di tempo significa acquisire tale numero ed associarlo alla variabile \(\small t \). Naturalmente esistono orologi migliori di altri: una volta si utilizzava il sole, poi molle e bilancieri, oggi si utilizzano il quarzo e altre forme di tecnologie, compresa quella nucleare. Essendo arbitraria la scelta da quale numero iniziare il conteggio per il tempo ha senso considerare solo la grandezza durata, ossia la differenza fra due misure \(\small t = t_2 - t_1 \) ed utilizzare questo valore come \(\small t \) equivale a porre \(\small t_1 = 0 \).

Spazio

Operativamente possiamo misurare una distanza o lunghezza utilizzando dei "regoli", oggetti presi come riferimento (unità di misura), che permettono di quantificare tale distanza: quanti "regoli", o frazione di "regolo", ci stanno fra le due posizioni. Tramite la grandezza lunghezza e introducendo i modelli matematici di spazio e di sistema di riferimento associati ad elementi fisici (stelle fisse, terra, laboratorio ...) si definisce la grandezza posizione da associare alla variabile \(\small \vec{x} \). Tramite il modello di spazio utilizzato è possibile riottenere la grandezza lunghezza come differenza fra due misure di posizione: \(\small |\vec{x_2} - \vec{x_1}| \). In molti casi il problema che si sta studiando lo si può approssimare ad uno unidimensionale, in questo caso interessano solo le posizioni lungo un retta e la posizione \(\small \vec{x} \) da vettoriale diventa scalare \(\small x \).

Velocità ed accelerazione

Tramite le misure di posizione e tempo possiamo calcolare la velocità di un punto che si muove, ossia calcolare di quanto varia la sua posizione in un certo intervallo di tempo: \( \small v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{\triangle x}{\triangle t} \).

Possiamo anche calcolare l'accelerazione, ossia di quanto varia la velocità in un certo intervallo di tempo: \( \small a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{\triangle v}{\triangle t} \).

E' da notare che questi valori sono calcolati come differenza e quindi non dipendono dal valore assoluto dei termini di partenza, ossia dal valore effettivo delle loro misure, ma solo dalla loro differenza di tali valori. Ad esempio, si ha lo stesso valore di velocità nel caso in cui il punto parta dalla posizione \(\small x_1 \) ed arrivi alla posizione\(\small x_2 \) nell'intervallo di tempo \(\small \triangle t \), al caso che, nello stesso intervallo di tempo \(\small \triangle t \), parta da \(\small x_1 + c \) ed arrivi \(\small x_2 + c \). Stessa cosa per l'accelerazione: se nell'intervallo di tempo \(\small \triangle t \) la velocità varia da \(\small v_1 \) a \(\small v_2 \), oppure da \(\small v_1 + c \) a \(\small v_2 + c\) l'accelerazione è identica.

Relatività

"In fisica, genericamente, si parla di relatività quando talune proprietà o grandezze che caratterizzano un ente fisico sono definibili, e assumono quindi significati e valori univoci, solo se si è convenzionalmente fissato un criterio di riferimento (per es., un sistema di coordinate), cosicché tali significati e tali valori non possono essere considerati assoluti (indipendenti cioè dal sistema di riferimento adottato) e inerenti all’ente fisico stesso, ma vanno al contrario concepiti come relativi, in quanto variano se il sistema di riferimento viene, per una qualsiasi ragione, cambiato."

[Treccani]

La scelta di un sistema di riferimento o di un altro non cambia in nessun modo il comportamento effettivo dell'ente/fenomeno fisico allo studio: il suo comportamento è indipendente dai riferimenti da noi scelti, ma può essere diverso il valore delle grandezze fisiche misurate e le relazioni che noi determiniamo fra di esse. Per cui quando si determino le grandezze fisiche e le relazioni fra loro bisogna specificare anche il sistema di riferimento. Si possono trovare delle regole per trasformare le grandezze fisiche da un sistema di riferimento ad un altro. Esistono grandezze fisiche che non dipendono dal sistema di riferimento.

Evento

"È molto utile ragionare in un diagramma spazio-tempo, in cui di solito si mette la coordinata x in ascissa e il tempo t (del rif.) in ordinata. A ogni punto del diagramma è associata una posizione spaziale e un istante temporale: si tratta di punti nello spazio-tempo, generalmente chiamati eventi.I punti (eventi) hanno un significato intrinseco, indipendente dal modo come li rappresentiamo in un diagramma spazio-tempo. Fisicamente parlando, un evento non è che un fenomeno ben localizzato nello spazio e nel tempo. “Ben localizzato” va inteso rispetto alla scala spaziale e temporale che c'interessa, e che può cambiare anche di molti ordini di grandezza a seconda del contesto di fenomeni di cui ci stiamo occupando. Esempi: il decadimento di una particella, la nascita di una persona, l'esplosione di una supernova."

[Insegnare relatività nel XXI secolo - Elio Fabri]

"Nella meccanica classica, esordice la nota, la nozione intuitiva di posizione di una particella, come di qualsiasi oggetto materiale, corrisponde alla condizione secondo la quale in ogni istante siano determinabili in modo univoco le sue coordinate spaziali. Di conseguenza, al variare del tempo entro un certo intervallo ha senso parlare di traettoria del moto della particella come successione continua delle sue posizioni, ed è possibile determinare, in un a rappresentazione astratta riferita ad uno spazio quadrimensionale (le tre coordinate spaziali più il tempo), la world-line della particella stessa. "

[Da un nota degli editors sull'articolo "The Quantum Postulate and the Recent Development of Atomic Theory, By Prof. N. BOHR, For.Mem.R.S." del 14 aprile 1928 su Nature , p. 579, riportato nel libro "Atomi metafore paradossi. Niels Bohr e la costruzione di una nuova fisica" 1 gen. 2012 di Sandro Petruccioli, pag. 25]

Ogni misura che eseguiamo, ogni proprietà che assegniamo ad un ente fisico, ogni relazione (legge) che scopriamo tra le grandezze è sempre riferita ad un punto dello spazio-tempo, ossia tale determinazione avviene ed è valida per la posizione \(\small \vec{x} \) all'istante \(\small t \). Ovviamente esistono casi in cui questa determinazione è la medesima per regioni più o meno estese di spazio e tempo, al limite per tutto lo spazio e per qualunque tempo.

"... la fisica classica ci consegna una interpretazione del mondo fisico sostanzialmente ripartita su due enti fondamentali ed intrinsecamente diversi: la materia (particelle materiali) ed il campo. ...

Particelle materiali: ... il possedere una massa, l’essere stabili nel tempo (almeno per quanto riguarda gli elettroni ed i protoni), l’occupare porzioni di spazio definite e molto piccole al limite puntiformi.

Campi di forza: ... il campo è considerato un ente fisico autonomo, in nessun modo riducibile alla materia, le cui principali proprietà distintive sono: la capacità di occupare vaste porzioni di spazio, di essere continuo e quindi frazionabile – almeno concettualmente - in parti sempre più piccole, di essere descritto da funzioni continue della posizione e del tempo ..."

[Estrato da "Lezioni di Fisica delle Particelle" Prof. Nicola Semprini Cesari del 28/12/2013, pag. 18 ] .

Sempre sulla differenza fra meteria e campo:

"Esiste una differenza formale di grande importanza fra le concezioni che sostengono i fisici nei confronti dei gas e degli altri corpi ponderabili e la teoria di Maxwell riguardante i processi elettromagnetici nel cosiddetto vuoto. Mentre possiamo considerare che lo stato di un corpo viene definito con precisione dalle posizioni e velocità di un numero elevato, ma tuttavia finito, di atomi ed elettroni, dobbiamo usare, per definire lo stato elettromagnetico di un certo spazio, funzioni spaziali continue, per cui un numero finito di grandezze non basta più a definire lo stato elettromagnetico di uno spazio. Secondo la teoria di Maxwell l’energia presente in tutti i fenomeni di carattere esclusivamente elettromagnetico (e quindi anche la luce) è da considerarsi una funzione spaziale continua, mentre i fisici moderni concepiscono l’energia di un corpo ponderabile come risultato di una somma sugli atomi ed elettroni. L’energia di un corpo ponderabile non può essere suddivisa in un numero arbitrario di parti piccole a piacere, mentre la teoria di Maxwell sulla luce (e, in generale, qualunque teoria ondulatoria) afferma che l’energia di un raggio luminoso, emesso da una sorgente luminosa, si distribuisce in modo continuo su di un volume sempre crescente."

[Albert Einstein, 'Su un punto di vista euristico riguardo all'emissione e trasformazione della luce']

[...] prima di Maxwell si immaginava la realtà fisica (in quanto rappresentante i fenomeni della natura), come punti materiali le cui modifiche consistono soltanto in movimenti, regolati da equazioni differenziali parziali. Dopo Maxwell si è concepita la realtà fisica come rappresentata da campi continui, non meccanicamente spiegabili, regolati da equazioni differenziali parziali. Questo cambiamento nella concezione della realtà è il cambiamento più profondo e più fecondo che la fisica abbia subìto dopo Newton; [...]

[Albert Einstein, Come io vedo il mondo, 1971, p. 117]

Materia

"La materia presenta una gerarchia di strutture: i corpi sono composti da molecole, le molecole da atomi, gli atomi da elettroni che orbitano intorno a un nucleo, il nucleo da protoni e neutroni, che, a loro volta, sono composti da quark. Per quanto ne sappiamo oggi, elettroni e quark sono privi di una struttura interna e sono quindi considerati elementari."

['particelle elementari' di Nicola Cabibbo - Treccani]

In fisica classica si considera materia tutto ciò che è composto da particelle materiali. Per particella materiale, chiamata anche semplicemente particella si intende un ente fisco con le seguenti proprietà:

  • avere un volume finito: ogni particella occupa completamente e in modo continuo una regione limitata dello spazio;
  • se l'estensione della particella non è significativa per gli scopi dello studio allora si utilizza il termine punto materiale e la sua posizione può essere descrtitta da un punto nello spazio, altrimenti bisogna analizzare anche il movimento di un suo punto rispetto agli altri (rotazioni);
  • essere indivisibile: non può mai esserne trovata solo una sua parte e non può mai occupare due posizioni diverse nello stesso istante \(\small t \). L'indivisibilità dipende dalla scala di grandezze per le dimensioni spaziali (R) dei sistemi in gioco e dei trasferimenti di energia (ΔE): I) molecolare (R ~ 10−9 m, ΔE~10−1 eV); II) atomico (R ~ 10−10 m, ΔE~ 1 eV); III) nucleare (R~ 10−14 m, ~ 106 eV); IV) subnucleare (R~ 10−15-10−16 m, ΔE ~ 108-109 eV); Esitono in natura alcune particelle per cui non sono mai state trovate loro sottoparti, queste sono chiamate particelle elementari, La fisica classica studia solo fenomeni che riguardano i livelli I e II in cui non vi sono mutazioni molecolari o atomiche, ossia queste si comportano come prive di struttura interna.
  • essere impenetrabile: in un punto dello spazio può esservene una ed una sola. Se due o più particelle si vengono a trovare nello stesso posto nello stesso istante si verifica un urto che segue le leggi note della meccanica, modificando generalmente le traiettorie e le velocità delle particelle coinvolte;
  • può cambiare la sua posizione nel tempo ma può andare dalla posizione \(\small \vec{x_a} \) alla posizione \(\small \vec{x_b} \) solo in modo continuo, ossia percorrendo tutti i punti di una traiettoria \(\small \vec{x(t)} \) continua che collega i punti \(\small \vec{x_a} \) e \(\small \vec{x_b} \) e su questa traiettoria non possono essere presenti altre particelle;
  • distinguibilità: due particelle possono avere stati identici, avere le stesse proprietà fisica, a parte avere la stessa posizione nello stesso istante e quindi in linea di principio è possibile seguire le particelle 1 e 2 nelle loro traiettorie e di conseguenza sapere sempre quale e' la 1 e quale e' la 2.

Si utizzano spesso anche le parole corpo e oggetto spesso utilizzate con lo stesso significato di particella. In altri casi, ad esempio nello studio dei corpi deformabili, dei gas e liquidi, ecc., non si assume il corpo/oggetto come unico ed indivisibile, ma interessa proprio conoscere come cambiano in alcune sue parti alcune sue grandezze fisiche al variare di altre, in questo caso il corpo/oggetto deve essere considerato come un sistema, ossia un insieme di particelle.

Campo

"La fisica classica, cioè non quantistica, ci offre molti esempi di campi: nell'acustica, nella teoria dell'elasticità, nell'idrodinamica, nella metereologia, ecc., appaiono in varie combinazioni e con varie funzioni i campi della pressione, della densità, della velocità, delle deformazioni elastiche, e così via. Questi campi corrispondono a un'idealizzazione della situazione reale, in quanto non rappresentano vere proprietà fisiche dei punti dello spazio, ma piuttosto proprietà medie degli atomi o molecole nei dintorni di ciascun punto.

All'interno della fisica classica un posto a sé occupamo il campo elettromagnetico e quello gravitazionale, oggetto il primo della teoria di Maxwell dell'elettromagnetismo, il secondo della teoria della gravitazione (relatività generale) di Einstein. Contrariamente a quelli cui è stato accennato prima, questi campi sono considerati come reali proprietà fisiche (addirittura geometriche, nel caso della gravitazione) dello spazio".

[Estrato dall'Enciclopedia Treccani, alla voce "CAMPI, Teoria dei" di Nicola Cabibbo ] .

Se in ogni punto \(\small \vec{x} \) di una regione dello spazio e' possibile misurare una grandezza fisica \(\small v \) (scalare o vettoriale) il cui valore è funzione solo della posizione e del tempo, \(\small v=f(\vec{x},t) \), diciamo che in quella regione di spazio vi è un campo. Esso è dovuto alla modificazione dello stato di una certa regione di spazio ad opera di un oggetto fisico composto da una o più particelle, detto sorgente del campo.

Alcune caratteristiche proprie dei campi:

  • nello stesso punto dello spazio è possibile misurare due grandezze fisiche che appartengono a due campi diversi;
  • una misura ideale del valore \(\small v \) in un punto \(\small\vec{x_0} \) non cambia lo stato (il valore \(\small v \)) negli altri punti, e comunque anche nel caso non ideale in cui la misura cambia lo stato del campo, questa variazione si può propagare solo a velocità finita e quindi esiste un punto \(\small \vec{x_1} \) in cui è possibile misurare il valore \(\small v \) come se non fosse stata eseguita la misura in \(\small \vec{x_0} \);
  • se in un punto \(\small \vec{x} \) si misura il campo \( \small v_1= f_1(\vec{x},t) \), e per qualche motivo nello stesso punto inizia agire anche il campo dello stesso tipo \(\small v_2= f_2(\vec{x},t) \), ossia nel punto \(\small \vec{x} \) nell'istante \(\small t \) agiscono due campi, allora in quel punto e in quell'istante si ha che il campo assume il valore \(\small v= F(v_1, v_2))\) che nel caso in cui valga il principio di sovrapposizione, ossia il campo sia lineare, si ha \( \small v=v_1 + v_2 = f_1(\vec{x},t) + f_2(\vec{x},t) \) , ossia i campi si sovrappongono ed è impossibile distinguere il contributo di uno rispetto all'altro.

L'interazione è il processo mediante il quale due o più corpi agiscono l’uno sull’altro con conseguenti modificazioni reciproche del loro stato.

I modi con cui due corpi possono interagire fra di loro possono essere:

  • azione diretta istantanea a distanza: i due corpi interagiscono tra di loro direttamente e istantaneamente senza alcuna mediazione;
  • azione di contatto o locale: i due corpi interagiscono con i costituenti del mezzo nel quale sono immersi e l’interazione viene trasmessa dal corpo A al corpo B, e viceversa, per contatto diretto dai costituenti del mezzo;
  • creazione da parte dei due corpi di un campo di forze: quando si pone in una certa regione dello spazio il corpo A, questo genera in tutto lo spazio circostante un nuovo stato di cose, il campo, e l’interazione che subisce il corpo B posto in prossimità di A è dovuta all’azione del campo generato da A, nella regione occupata da B, sul corpo B stesso (e viceversa).

È stato sperimentalmente provato che non si manifestano in natura interazioni che si propaghino istantaneamente; quando uno dei due corpi interagenti subisce un qualsiasi cambiamento, gli effetti del cambiamento si manifestano sull’altro corpo solo dopo un certo intervallo di tempo e la velocità massima di propagazione delle interazioni è uguale alla velocità della luce nel vuoto (coerentemente con la teoria della relatività ristretta). Quindi l’interazione che subisce il corpo B a un certo istante non è definita dallo stato (posizione, carica elettrica ecc.) del corpo A allo stesso istante, ma da quello in un istante precedente (che dipende dalla distanza tra A e B), e viceversa.

La forza è una grandezza fisica vettoriale che caratterizza un’interazione fra corpi. Essa, a differenza delle altre grandezze fisiche non è una proprietà caratteristica di un corpo, ma proprio dell'interazione fra più corpi.

Tutti i fenomeni fisici che si osservano nella realtà sembrano riconducibili a quattro interazioni fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, debole e forte.

[ Estratto dall'Enciclopedia Treccani, alla voce "Interazione" ].

Una particella può interagire con un'altra particella spazialmente separata cambiandone lo stato mediante un campo vettoriale chiamato campo di forza. Possiamo pensare questo processo suddiviso in due parti:

  • una particella \(\small p1 \) produce un campo vettoriale \(\small \vec{C}_{p1}(x,t) \), chiamato campo di forza;
  • questo campo agisce su un'altra particella \(\small p2 \) producendo una grandezza fisica chiamata forza \(\small \vec{F}_{p2} = f(p2, \vec{C}_{p1}(x,t) )\), che ha la proprità di modificare lo stato della particella su cui agisce.
  • la stessa cosa avviene per la particella \(\small p2 \) \(\small \rightarrow \) \(\small \vec{C}_{p2}(x,t) \) \(\small \rightarrow \) \(\small \vec{F}_{p1} = f(p1, \vec{C}_{p2}(x,t) )\)

Potenziale

Se la forza \(\small \vec{F}_{p2} \) che agisce sulla particella \(\small p2 \) ad opera del campo \(\small \vec{C}_{p1}(x,t) \) dipende solo dalla posizione, ossia ogni volta che la la particella si trova in \(\small x \) la forza \(\small \vec{F}_{p2} \) è la medesima indipendentemente dalla storia passata della particella , o, che è la stessa cosa, dal valore delle sue altre grandezze fisiche (velocità ed accelerazione), si ha che la variazione di stato della particella \(\small p2 \) che si muove dal punto \(\small a \) al punto \(\small b \) è dovuta solo dalla differenza fra i valori del campo (e quindi anche della forza) nei due punti e non dal loro valore assoluto: in questo caso il campo si dice conservativo ed è possibile definire una funzione scalare \(\small U(x,t) \) detta potenziale tale per cui \(\small \vec{C} = \nabla U(x,t) = grad U(x,t)\), ossia \(\small C_x = \frac{\partial U}{\partial x} \), \(\small C_y = \frac{\partial U}{\partial y} \), \(\small C_z = \frac{\partial U}{\partial z} \) che ci fornisce di quanto varia il campo tra due punti. La funzione \(\small U(x,t) \) è definita a meno di una costante, ossia le funzioni \(\small U(x,t) \) e \(\small U(x,t) + const \) danno lo stesso campo \(\small \vec{C} \).

"Nel linguaggio scient., con riferimento a un determinato mezzo fisico (l’acqua, l’aria, ecc.) o al vuoto, indica l’andamento generalmente periodico, più o meno regolare, col quale una perturbazione determinatasi in un punto del mezzo si propaga nello spazio ad esso circostante; e anche la perturbazione medesima (correntemente, è sinon. di oscillazione, ma questo termine designa propriam. fenomeni locali, mentre l’onda viaggia nello spazio).

[ Estratto dall'Enciclopedia Treccani, alla voce "Onda" ].

Si ha un'onda quando il valore \(\small f \) di una grandezza fisica in un punto \(\small x \) varia e questa variazione si trasmette in modo "locale", ossia ha effetti solo nelle immediate vicinanze del punto stesso: si propaga nello spazio l'informazione che il valore \(\small f \) è cambiato in un punto.


Si utilizza in questi casi il temine propagazione in quanto la variazione in un punto non ha effetti immediati su tutto lo spazio, ma ha effetti solo localmente, solo in una regione delimitata di spazio, e questi effetti solo con il passare del tempo riguarderanno gli altri punti dello spazio a distanza maggiore.

http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_disp/d3/dispense/DegasperisFisTeo.pdf Se in un campo \(\small f = f(x,t) \) il valore \(\small f \) in un punto \(\small x \) varia nel tempo e questa variazione dipende solo dalle variazioni di punti vicini ad esso (e comunque non oltre una certa distanza) avvenute nell'immediato passato si ha che il campo evolve in modo "locale" e diciamo che \(\small f(x,t) \) è un'onda, ossia si propaga nello spazio l'informazione che il valore \(\small f \) è cambiato in un punto. Si utilizza il temine propaga in quanto la variazione in un punto non ha effetti immediati su tutto lo spazio, ma ha effetti solo localmente, solo in una regione delimitata di spazio, e questi effetti solo con il passare del tempo riguarderanno gli altri punti dello spazio a distanza maggiore.

 

Se la sorgente di un campo cambia il suo stato anche il campo generato dalla sorgente cambia, ossia si propaga nello spazio e nel tempo l'informazione che lo stato della sorgente è cambiato: questa propagazione della variazione (perturbazione) dello stato della sorgente è chiamata onda ed è descritta matematicamente da una funzione scalare o vettoriale del tempo e dello spazio \(\small f=f(x,t) \) dove \(\small f \) è il valore di una grandezza fisica che varia a causa della varizione dello stato della sorgente. La determinazione di questa funzione avviene tramite la soluzione delle leggi (equazioni) che descrivono il campo (ad. esempio le eq. di Maxwell per i campi elettromgnetici) mentre l'analisi della funzione avviene tramite la teoria dei segnali.

Principo di sovrapposizione

Se l'equazione del campo che determina la funzione \(\small f=f(x,t) \) ha l'importante proprietà di essere lineare è valido il principio di sovrapposizione, questo porta alla notevole conseguenza che se possiamo scrivere la \(\small f(x,t) \) come combinazione lineare delle funzioni \(\small u(x,t) \) e \(\small g(x,t) \), ossia \(\small f(x,t) = α u(x,t) + β g(x,t)\), allora anche \(\small u(x,t) \) e \(\small g(x,t) \) sono soluzioni dell'equazione del campo.

E' naturalmente vero anche l'inverso: se \(\small u(x,t) \) e \(\small g(x,t) \) sono soluzioni, anche una loro combinazione lineare \(\small f(x,t) = α u(x,t) + β g(x,t)\) è una soluzione. I tre casi \(\small f(x,t) \), \(\small u(x,t) \) e \(\small g(x,t) \) sono situazioni fisiche diverse e distinguibili: si può determinare quando vi è solo \(\small u(x,t) \) o solo \(\small g(x,t) \) o quando vi sono entrambe, ma in questo ultimo caso non possiamo distinguere \(\small u(x,t) \) da \(\small g(x,t) \).

Se in un punto dello spazio \(\small x \) all'istante \(\small t \) agiscono due onde \(\small u(x,t) \) e \(\small g(x,t) \) prodotte da due sorgneti diverse allora si ha che la grandezza che rappresenta l'onda nel punto \(\small x \) all'istante \(\small t \) è uguale alla loro somma \(\small u(x,t) + g(x,t)\). Questo incontro (somma) non distrugge le onde nel senso che se in un punto \(\small x' \) raggiunto dall'onda \(\small u(x,t) \) nell'istante \(\small t' > t \) il valore della grandezza che rappresenta l'onda rimane \(\small u(x',t') \) indipendentmente dal fatto che prima vi sia stato meno l'incontro con \(\small g(x,t) \).

Un esempio importante del principo di sovrapposizione si ha nel caso delle onde onde elettromagnetiche in cui la direzione dell'onda e quella di oscillazione sono perpendicolari tra loro. Se l'oscillazione avviene sempre sullo stesso piano, si dice che l'onda è polarizzata orizzontalmente o verticalmente in base al sistema di riferimento scelto, se invece il piano di oscillazione ruota si ha una polarizzazione circolare.

Per il principo di sovrapposizione possiamo pensare e realizzare un'onda polarizzata a \(\small 45^0 \) come la somma di 2 onde polarizzate una a \(\small 0^0 \) e l'altra a \(\small 90^0 \), ma è importante notare che un'onda polarizzata a \(\small 45^0 \) non è un'onda polarizzata a \(\small 0^0 \) o polarizzata a \(\small 90^0 \), neppure un'onda polarizzata a \(\small 0^0 \) e una polarizzata a \(\small 90^0 \), ma essa è un'onda polarizzata a \(\small 45^0 \) e basta: possiamo solo matematicamente scriverla o fisicamente realizzarla come somma di due onde, ma non possiamo usare i connettivi logici 'o' oppure 'e' .


MQ completo 2012_Rosmelli.pdf
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2004/Ucau040420d003
Leggera variazione, indotta dall'esterno, dello stato di un sistema
) In fisica, modificazione di una o più grandezze relative a un dato sistema fisico la cui entità è molto più piccola del valore delle grandezze interessate.
http://webusers.fis.uniroma3.it/~silva/slides/01-Onde.pdf
https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Onde_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique
http://personalpages.to.infn.it/~romero/Scienze-materiali-appunti/Lez-scmat-onde.pdf

http://www.uniroma2.it/didattica/Fisica_Moderna/deposito/Fisica_Moderna_-_Onde.pdf
http://www.lucamoroni.it/cdf-simulations-it/propagazione-delle-onde/
http://www.elenet.altervista.org/Free%20doc/OndeMatematiche.html
http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/zucchelli/stuff/-2000-I-Onde_e_Oscillazioni-I-14-Slide.pdf
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2008/Ucau080501d001

http://www-3.unipv.it/grando/ondeweb/index.htm
http://home.deib.polimi.it/bellini/fond_segnali_trasm/FST_1_segnali.pdf
Università degli Studi di Milano Lezione 1 – Segnali
http://www.griaf.unipa.it/promonda/pagine/spettro.htm
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=11051
http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/PDF/DispenseCE_E_P.pdf
http://www.tti.unipa.it/mamola/
https://www.mat.uniroma2.it/~perfetti/didattica/analisi3online/onde_calore.pdf

Le variazioni delle proprietà di un campo si propagano nello spazio come onde trasportando energia senza che vi sia trasporto di materia. La materia si muove rispetto al punto di equilibrio,senza seguire l'onda, Un esempio classico è il gallegiante sulla superfice dell'acqua che oscilla senza essere trasporato dall'onda.

Le onde sono descritte da una funzione \(\small \small f(x,t) \), detta funzione dell'onda, che deve essere una soluzione dell'equazione d'onda:

\[ \small \frac{\partial^{2} f(x,t)}{\partial^{2} x} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f(x,t)}{\partial^{2} t} = 0\]

dove \(\small v\) è la velocità di propagazione della perturbazione e dipende dal mezzo.

La soluzione dell'equazione d'onda é una qualunque funzione del tipo \(\small f(x,t) = f_{1}(x-vt) + f_{2}(x+vt) \) che rappresenta un'onda nella direzione \(\small +x \) e un'onda nella direzione \(\small -x \). La \(\small \small f(x,t) \) fornisce per ogni valore di \(\small x \) ad ogni istante \(\small t \) l'ampiezza dell'onda.

Onda sinusoidale o armonica

La funzione \(\small y(x,t) = A sin(k(x - vt) + φ) = A sin(kx - ωt + φ)\) è un'onda progessiva sinusoidale dove \(\small v = \frac{ω}{k} \) velocità di propagazione dell'onda, \(\small A \) ampiezza, \(\small kx + ωt + φ\) fase, \(\small k \) numero d'onda, \(\small ω \) pulsazione, \(\small φ \) fase iniziale, \(\small f = \frac{ω}{2π}\) frequenza, \(\small T = \frac{2π}{ω} = \frac{1}{f} \) periodo, \(\small λ = \frac{2π}{k} = vT \) lunghezza d'onda.

In natura un'onda sinusoidale "pura" non può esistere in quanto richiederebbe di avere un'estensione e una durata infinita. Possono solo esistere onde "sinusoidali" di durata ed estensione sufficienti per gli scopi prefissati. Comunque sono un'astrazione estremamente utile in quanto, grazie alla linearità e a Fourier, un’onda qualunque può sempre essere considerata come la somma (eventualmente infinita utilizzando gli integrali \(\small \int \)) di onde sinusoidali ciascuna con il proprio numero d'onda \(\small k_i \) (o pulsazione \(\small ω_i = k_i v \) ) e ampiezza \(\small A_i \).

Pacchetto d'onda

Sovrapponendo un certo numero di onde armoniche in un range \(\small \triangle k \), ciascuna con la sua ampiezza dipendente da \(\small k \), si può ottenere un’onda limitata spazialmente chiamato "pacchetto di onde":

Pacchetti d’onda molto localizzati <–> ampio spettro di numeri d’onda, \(\small \triangle k \) grande;

Pacchetti d’onda poco localizzati <–> minore spettro di numeri d’onda.

In generale dal teorema di Fourier si ha: \(\small \triangle k \triangle x \sim 1 \).

Un'onda sinusoidale pura è formata con un solo \(\small k\), ossia \(\small \triangle k = 0\) –> \(\small \triangle x = \infty\)

Interferenza

L'interferenza è il fenomeno per cui si ha che l'intensità o l'ampiezza di un'onda formata dalla somma di altre onde è diversa rispetto alla somma delle singole ampiezze o intensità associate ad ogni onda componente. In generale si dice che l'interferenza è costruttiva quando l'intensità risultante è maggiore rispetto a quella di ogni singola intensità originaria e distruttiva in caso contrario.

Matematicamente si ha che l'onda \( \small f(x,t) = u(x,t) + g(x,t)\) in alcuni punti \(\small x \) e per certi istanti \(\small t \) può avere ampiezza nulla o maggiore delle singole ampiezze \(\small |u| \) e \(\small |g| \): i valori possibili vanno da \(\small 0 \) quando si ha \(\small u(x,t) = - g(x,t) \), onde di ampiezza identica in controfase, a \(\small |u(x,t)| + |g(x,t)| \).

In termini di intensità: \( \small |f(x,t)| = |u(x,t) + g(x,t)| \leq |u(x,t)| + |g(x,t)|\), in termini di modulo quadro \( \small |f(x,t)|^2 = |u(x,t)|^2 + |g(x,t)|^2 + u(x,t)g(x,t)\) da cui si vede che alla somma \( \small |u(x,t)|^2 + |g(x,t)|^2 \) va aggiunto il "termine di interferenza" \( \small u(x,t)g(x,t)\) che potendo essere anche negativo fa diminuire l'ampiezza dell'onda nel punto \( \small x \) all'istante \( \small t \).

Onde elettromagnetiche

Le onde elettromagnetiche sono le oscillazioni del campo elettromagnetico che si propagano nello spazio e le loro proprietà specifiche sono:

- si propagano nel vuoto, ossia anche in assenza di materiale,

- la velocità di propagazione \(\small v \) non dipende dal sistema di riferimento ed è costante: \(\small \small c = 3 × 10^{8} m/s\). Questa particolarità, assieme alla richiesta che in un qualunque sistema di riferimento inerziale la forma delle leggi deve essere le stessa, sono quelle che hanno portato a determinare la teoria della relatività ristretta.

"... va riconosciuta una esistenza reale sia ai corpuscoli materiali discreti che ai campi continui. Questi enti fisici evolvono in modo preciso nello spazio sotto l'influenza delle loro mutue interazioni codificate dalle equazioni della meccanica e dell'elettromagnetismo le quali dovrebbero consentire, almeno in linea di principio, la comprensione di tuti i processi del mondo fisico"

[Dal libro "Un'occhiata alle carte di Dio" di Gian Carlo Ghirardi, pag.3]

Le particelle interagiscono tra loro tramite quattro campi di forza (forze) fondamentali:

  • la forza gravitazionale: le particelle hanno la proprietà fondamentale chiamata massa gravitazionale, che è una grandezza fisica scalare responsabile dell'interazione gravitazionale e consiste nel fatto che fra le particelle si esercita sempre una mutua attrazione. Il campo di forze tramite il quale due particelle spazialmente separate possono agire una sull'altra è chiamato campo gravitazionale;
  • la forza elettromagnetica: le particelle possono avere una proprietà chiamata carica elettrica , che è una grandezza fisica scalare dotata di segno e quantizzata, ossia esiste solo in forma di multipli di una quantità fondamentale, la carica dell'elettrone, che viene definita come negativa ed indicata con −e. E' responsabile dell'interazione elettromagnetica e consiste nel fatto che tra particelle che possiedono carica elettrica vi è una mutua attrazione o repulsione: vi è attrazione se il segno delle cariche è discorde, repulsione se concorde. Il campo di forze tramite il quale due particelle dotate di carica elettrica spazialmente separate possono agire una sull'altra è chiamato campo elettromagnetico.
  • la forza debole, responsabile della “mutazione” dei nuclei e delle particelle;
  • la forza forte o di colore, che tiene insieme sia gli adroni che i nuclei, “incollando” tra loro rispettivamente i quark ed i nucleoni.

Massa inerziale

“..... uno dei fatti più sorprendenti della storia della fisica è la confusione che circonda la definizione del concetto fondamentale della dinamica: la massa”.

[G. Burniston Brown, American Journal of Physics, 1960]

In fisica classica ad ogni particella (corpo) è associata una proprietà fondamentale: la massa inerziale che rappresenta la proprietà della materia di opporsi alle variazioni di velocità. La massa gode della proprietà additiva: unendo insieme due o più corpi si ottiene un alcosa di diverso dai corpi singoli, la cui massa è pari alla massa dei componenti; la massa di un sistema composto da \(\small n \) corpi ciascuno di massa \(\small m\) è \(\small m_s = n*m\). In fisica classica la massa è costante: non varia nel tempo, per qualunque azione si faccia su di essa e non dipende dal sistema di riferimento. Come unità di misura si utilizza un corpo campione.

La fisica classica descrive tutti gli enti fisici utilizzando 5 grandezze fondamentali: lunghezza, durata, massa inerziale, massa gravitazionale, carica elettrica. Tutte le altre grandezze sono derivabili o calcolabili da queste, ad esempio la velocità è un funzione delle grandezze lunghezza e durata, la temperatura è una grandezza che viene utilizzata in termodinamica, ma può essere ricondotta al movimento (velocità) delle molecole e alla loro massa inerziale.

Nella meccanica classica si è interessati a descrivere il comportamento di un punto materiale, ossia quei sistemi dove le grandezze fisiche che descrivono le dimensioni di un corpo si possono tarscurare, si basa sull'equazione fondamentale di Newton: \(\small F(x,t) = m\frac{d^{2}f(t)}{d^{2}t} s\),

dove \(\small m\) rappresenta la massa, \(\small x\) la posizione, \(\small F(x,t) \) la forza che agisce sul punto materiale, \(\small f(t) \) la funzione del moto.

Data un forza \(\small F(x,t) \), se si conoscono ad un certo istante \(\small t_0 \) la posizione \(\small x_0 \) e la velocità \(\small v_0 \) di una massa \(\small m \) è possibile determinare la funzione del moto \(\small f(t) \) che permette di calcolare per ogni istante \(\small t \) :

- la posizione \(\small x= f(t) \)

- la quantità di moto \(\small p = m\frac{df(t)}{dt}\)

Lo stato di punto materiale è completamente specificato dalle due variabili posizione \(\small x \) e quantità di moto \(\small p \) e ogni altra grandezza fisica \(\small O \) è esprimibile come funzione di queste \(\small O = O(x,p) \).

Ad esempio la velocità \(\small v = v(x, p) = \frac{p}{m}\), l'energia cinetica \(\small E_k = E_k(x,p) = \frac{p^2}{2m}\), l'accelerazione \(\small a = a(x,p) =\frac{1}{m} \frac{dp}{dt}\)

Esempio: moto di un punto materiale soggetto alla forza-peso \(\small F(x,t) = mg\) agente nella direzione \(\small x\) :

\(mg = m\frac{d^{2}f(t)}{d^{2}t} \Rightarrow f(t) = x_{0} + v_{0}t + \frac{gt^2}{2} \) .

Questa funzione ci dice che la traettoria del punto è una parabola e che se si conoscono la posizione iniziale \(\small x_{0}\) e la velocità iniziale \(\small v_{0}\), la \(\small f(t)\) ci dice la posizione \(\small x \) del punto ad ogni istante \(\small t \) . Se si esegue una misura all'istante \(\small t_{1}\), il valore fornito dalla misura \(\small x_{1}\) deve coincidere, a meno dell'errore di misura, con quello fornito dalla \(\small f(t_{1})\): il valore della misura e quello calcolato senz'altro differiscono e questo è dovuto alla non perfetta precisione degli strumenti che servono per determinare l'istante \(\small t_{1}\) e i valori \(\small x_{1}\), \(\small x_{0}\) e \(\small v_{0}\). Comunque l'errore si può rendere sempre più piccolo aumentando la precisione degli strumenti.

La meccanica classica ha introdotto la novità, che un corpo non soggetto a forze \(\small F = 0 \Rightarrow f(t) = x_{0} + v_{0}t \Rightarrow v = \frac{df(t)}{dt} = v_{0}\) mantiene la velocità iniziale \(\small v_{0}\), in contrasto con l'esperienza che ci dice che per mantenere un corpo in movimento è necessario applicargli una forza: in realtà è la presenza di una forza contraria al moto, l'attrito, che frena il corpo.

La MQ riesce a descrivere anche i due fondamentali esperimenti che la MC non riesce:
- doppia fenditura + punti
- correlazione fra fotono entangled

La MQ riesce a descrivere alcuni fenomeni che non sono descrivibili dalla fisica classica, alcuni non sono nemmeno "pensabili" poiché al di fuori del nostro senso comune.

Casualità

Nella fisica classica uno dei principi fondamentali è che a uguali cause corrispondono uguali effetti: se si esegue la stessa misura su un insieme di sistemi tutti uguali, tutti preparati in modo idententico, il risultato della misura è sempre lo stesso: le eventuali differenze sono sempre dovute all'imprecisione nel preparare i sistemi o all'imprecisione degli strumenti di misura, comunque effetti di cui è possibile predeterminarne la quantità (errore di misura) e in linea di principio rendere piccoli a piacere.

Invece si è riscontrato che nei sistemi in cui gli ordini di grandezza delle variabili sono paragonabili con la costante di Plank \(h \), i sistemi microscopici, alcuni tipi di misura eseguite su diversi sistemi tutti preparati in modo identico danno luogo a valori diversi in modo casuale: una misura potrebbe dare, ad esempio, il valore \(\small a \) o \(\small b \) e i due valori sono diversi oltre agli errori di preparazione e di misura. Ripetendo la misura su in insieme di sistemi identici si ottiene sempre l'uno o l'altro in modo del tutto casuale, non si ha modo di prevedere in che modo si ottenga \(\small a \) o \(\small b \). Ottenere un valore o l'altro non è assolutamente predicibile e l'analisi statistica dei risultati supera tutti i test di casualità. La cosa interessante è che se si ripete la misura sullo stesso sistema che ha dato, ad esempio, il valore \(\small a \) si riottiene con certezza lo stesso valore \(\small a \). Questo comportamento è stato osservato anche per alcuni sistemi composti da un numero sufficente di particelle da non poterli considerare microscopici.

Quantizzazione dell'energia

Se si analizza lo spettro di emissione di un gas a bassa pressione si vede che è formato solo da righe nette colorate su sfondo nero (nero = assenza di luce). Questo è spiegabile solo introducendo il fatto che il sistema in esame non possa assumere qualunque livello di energia, ma solo una serie di valori. Altro fenomeno spiegabile solo con la quantizzazione è la cosiddetta "Catastrofe Ultravioletta"

Comportamento come onda o come particella

La luce si manifesta come onda in quanto è soggetta ai fenomeni di diffrazione ed interferenza, ma si manifesta anche come particella in quanto interagisce con una lastra fotografica in punti. Aumentando o diminuendo la potenza di un fascio di luce non variano le "dimensioni" dei punti, ma cambia il loro numero.

Il famoso esperimento della doppo fenditura è considerato l'esperimento principe per evidenziare tale comportamento: la lastra fotografice si impressiona sempre un punto alla volta, da cui il comportamento come particella, ma dopo molti punti si evidenzia una figura di interferenza che è un comportamento da onda.

Questi due aspetti insieme non solo non sono describili assieme nella fisica classica, ma sono per noi anche non pensabili assieme in quanto i concetti di onda e particella sono antitetici.

Riporto qui un brano preso da http://ulisse.sissa.it del dott. Angelo Bassi del Dipartimento di Fisica Teorica, Università di Trieste, che spiega molto bene il fatto:

"Nella fisica classica due sono i modelli utilizzati per descrivere i fenomeni fisici. Da una parte il modello corpuscolare, fondamento della meccanica di Newton, che spiega le proprietà dei corpi materiali: il moto dei pianeti, le traiettorie dei proiettili e così via. Dall'altra parte il modello ondulatorio, che spiega le proprietà delle onde sonore, marine e soprattutto elettromagnetiche. Le equazioni di Maxwell sono il coronamento della teoria ondulatoria dei fenomeni elettrici e magnetici. I corpuscoli e le onde godono di proprietà diversissime tra di loro. I corpuscoli sono sempre localizzati nello spazio, in un punto preciso o comunque in una regione limitata. Le onde al contrario tendono a espandersi in tutto lo spazio. Ma la differenza forse più importante è che mentre è possibile sommare due onde per dare luogo a una terza onda (da qui hanno origine tutti i fenomeni di interferenza e diffrazione, caratteristici dei moti ondulatori), non è possibile, anzi non ha senso sommare due particelle. Quello corpuscolare e quello ondulatorio sono quindi due modelli inconciliabili: un oggetto fisico o è un'onda oppure una particella. Questa almeno, grosso modo, è l'interpretazione classica di tutti i fenomeni fisici. Nella meccanica quantistica le cose stanno in maniera diversa."

Non località

In natura si riescono a creare sistemi composti da più sottosistemi generati dallo stesso evento che si comportano in modo non separabile, ossia se si agisce su una parte anche l'altra subisce un'influenza indipendentemente da dove essi si trovino, ovvero l'azione su una parte del sistema influenza anche l'altra in modo 'immediato', o perlomeno con una velocità superiore a quella della luce: questi sistemi si definiscono "entangled".

Questa proprietà della natura è ancora più strana di quelle che pensiamo: sembra che violi la teoria della relatività, e questo per noi di oggi è "impensabile", ma in realtà l'influenza dell'azione su una parte che si propaga sull'altra parte non trasporta energia e quindi non viola la relatività.

Altra aspetto particolare di questi sistemi è che guardando solo una parte del sistema è impossibile determinare se sull'altra parte sono state eseguite o meno delle azioni: solo confrontando a posteriori le misure sulle due parti si scopre che sono correlate: ad esempio, se le misure su una parte hanno come esito una sequenza casuale di 1 e 0, allora anche le misure dell'altra parte sono una sequenza altrettanto casuale di 1 e 0, ma perfettamente simmetrica (o anti simmetrica) alla prima. Questo è verificabile solo confrontando le due sequenza di misure ed è il motivo per cui non è possibile inviare "messagi" con velocità maggiori di quella della luce. Su questo è molto istruttiva la lezione tenuta il 27 marzo 2008 a Gorizia dal professor Giancarlo Ghirardi: Teletrasporto Quantistico

Dall' Enciclopedia Treccani, alla voce "Meccanica quantistica" :

"La meccanica quantistica può essere considerata la più efficiente descrizione della natura elaborata dall’uomo. I suoi successi sono stati evidenti fin dalla sua introduzione, all’inizio del 20° sec., e ancora oggi la sua validità non è stata contraddetta da alcun esperimento. Essa consiste nell’introduzione di un apparato matematico che consente di descrivere, in maniera quantitativa estremamente accurata, gran parte della realtà sensibile. Rispetto alla meccanica e all’elettromagnetismo classici, i suoi postulati [...] appaiono profondamente non intuitivi, al punto da implicare un drastico cambio della visione della realtà."

Nella meccanica quantistica si è interessati a descrivere il comportamento delle particelle elementari e si basa sull'equazione di Schrödinger che ha lo stesso ruolo della legge di Newton in meccanica classica:

\[\imath\hslash\frac{\partial Ψ(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hslash^2}{2m}\frac{\partial^2 Ψ(x,t)}{\partial^2x} + V(x,t)Ψ(x,t)\]

dove \(\small m\) rappresenta la massa, \(\small x\) la posizione, \(\small V(x,t) \) il potenziale che agisce sulla particella, \(\small \imath \) unità immaginaria, \( \small \hslash = \frac{h}{2π} \) e \(h \) è la costante di Planck.

A differenza della legge di Newton che ha come soluzione una \(\small f(t) \) che ad ogni istante \(\small t \) fornisce un valore reale \(\small x \) che rappresenta la posizione del punto materiale, l'equazione di Schrödinger ha come soluzione una \(\small Ψ(x,t)\) che è un campo scalare a valori complessi e matematicamente rappresenta un'onda per cui vale il principio di sovrapposizione: questo implica pensare alle particelle come qualcosa di molto diverso da un punto materiale.

Come prima cosa quando si parla di "posizione", "quantità di moto" ed "energia", ovvero le grandezze con cui siamo abituati a pensare a un qualcosa chiamata "particella", si associano:

  • alla posizione l'estensione \(\small \triangle x \) di un pacchetto d'onda,
  • alla quantità di moto \(\small p = \frac{h}{λ} = \hslash k \) la lunghezza o il numero di un'onda utilizzando l'equazione di de Broglie,
  • all'energia \(\small E = hf = \hslash ω = \frac{k^2\hslash^2}{2m} \) la frequenza o la pulsazione di un'onda secondo quanto scoperto da Plank,

e nelle misure di posizione si ha un "effetto" in un punto appartenente alla regione \(\small \triangle x \) e si misura una quantità di moto o energia come nel caso dei punti materiali.

Quando si misura una qualunque grandezza fisica \(\small x \), \(\small q \) , \(\small E \) o una qualunque loro combinazione, che in meccanica quantistica vengono chiamate osservabili, su un insieme di sistemi tutti preparati allo stesso modo e quindi descritti dalla stessa \(\small Ψ(x,t)\), non si ottiene sempre lo stesso valore: è questa l'indeterminazione della meccanica quantistica. Inoltre la \(\small Ψ(x,t)\) rappresenta un'onda, quindi possiede estensione spaziale grande a piacere, mentre nelle misure la particella si "presenta" come punto, ossia con una estensione spaziale piccola a piacere.

 

Il tutto è conciliato grazie al principio di indeterminazione di Heisenberg e all'interpretazione statistica di Born, chiamata anche "di Copenaghen" o "ortodossa".

Principio di indeterminazione di Heisenberg

In meccanica classica in qualunque istante è possibile conoscere con precisone arbitraria la posizione e la quantità di moto di un punto materiale. Questo implica che la traettoria della particella può essere determinata con precisione arbitraria. Al contrario in meccanica quantistica si pone un limite a questa conoscenza, dato teenutoa dalla relazione: \(\small \triangle x \triangle p \geq \hslash / 2 \). In qualunque istante, in qualunque situazione se si ha una conoscenza della posizione con precisone \(\small \triangle x \) allora è possibile conoscere la quantità di moto solo con una precisione maggiore di \(\small \frac{\hslash}{2} \frac{1}{\triangle x} \), ovvero più conosciamo con precisione la posizione, \(\small \triangle x \) piccolo, maggiore è l'incertezza sul momento: \(\small \triangle p \) grande.

Interpretazione statistica

L'interpretazione statistica non assegna alla \(\small Ψ(x,t)\) nessun significato fisico, ma la considera uno strumento matematico per prevedere in modo statistico il valore delle misure ed è uno strumento estremamente potente in quanto la meccanica quantistica è la teoria fisica con il più alto grado di precisione nella previsione delle misure:

  • La \(\small Ψ(x,t)\), detta funzione d'onda, rappresenta lo stato di una particella e permette di calcolare le probabilità di ottenere determinati risultati in qualsiasi tipo di misura. Per prima cosa si tiene separato il risultato delle misure dalla \(\small Ψ(x,t)\), nel senso che se in meccanica classica si dice che un punto materiale ha posizione \(\small x \) e quantità di moto \(\small p\), ossia il suo stato coincide con il valore delle misure di posizione \(\small x \) e quantità di moto \(\small p\), in meccanica quantistica invece lo stato della particella viene definito solo dalla funzione d'onda e il valore delle osservabili sono il risultato di una operazione di misura e non qualcosa che "appartiene" alla particella. In effetti è possibile avere particelle che se sottoposte ad una determinata misura per conoscere il valore di una osservabile queste forniscono sempre lo stesso valore e quindi viene naturale dire che la particella "possiede" tale caratteristica. Se poi vengono sottoposte ad una misura per un'altra osservabile nel ripetere la prima non si ha più la certezza di ottenere il valore precedente e quindi la particella dopo l'esecuzione della seconda misura non "possiede" più quella caratterisitica. In meccanica classica è invece possibile eseguire misure su qualunque grandezza senza alterarne lo stato. Ciò implica che se si misura prima la posizione e poi la quantità di moto, ritornando a misurare la posizione si ha lo stesso risultato della prima misura: tutto questo, naturalmente, tenendo in considerazioni gli errori di misura e gli effetti che una misurazione può apportare al misurando;
  • \(\small |Ψ(x,t)|^2dx = Ψ(x,t)Ψ^*(x,t)dx \) è un numero reale che ci da la probabilità di trovare la particella nell'intervallo \(\small dx \) se si esegue una misura di posizione al tempo \(\small t\); Dire "se si esegue una misura" significa che l'interpretazione statistica, come già detto sopra, non dice mai che una particella possieda effettivamente un determinato valore, ma che l'esecuzione di una misura ha come risultato un valore in accordo con la \(\small Ψ(x,t)\), o, più pecisamente, con \(\small |Ψ(x,t)|^2dx \) . Questo vuol dire che se, ad esempio, si preparano \(\small 100 \) sistemi identici tutti nello stato \(\small Ψ(x,t)\) in cui \(\small \int_{a}^{b}|Ψ(x,t)|^2dx = 0,3\), e si esegue una misura di posizione in ciascuno di essi in circa \(\small 30 \) si troverà la particella fra \(\small a\) e \(\small b \), nei rimanenti si troverà la particella al di fuori dell'intervallo. Se non si esegue la misura non si può dire niente sulla posizione della particella se non una probabilità di trovarla in un certo intervallo;
  • si introduce la condizione di normalizzazione: fra tutte le soluzioni possibili hanno significato fisico solo quelle a quadrato sommabile, ossia quelle per cui \(\small \int_{-\infty}^{+\infty} |Ψ(x,t)|^2dx =N\) con \(\small N \neq 0 \) e \(\small N \neq \infty \). Se \(\small Ψ_1(x,t) \) è una soluzione dell'equazione di Schrödinger a quadrato sommabile, allora si utilizza la funzione d'onda "normalizzata": \(\small Ψ(x,t) = \frac {Ψ_1(x,t)}{N} \). La condizione di normalizzazione ci dice che probabilità di trovare la particella fra \( \small -\infty \) e \(\small +\infty \) è \(\small 1 \): al \(\small 100 \% \) una misura rileverà la particella.

 

Una particella di massa \(\small m\) inizialmente localizzata nell'intervallo \( \small [ -a , +a]\) e lasciata libera al tempo \( \small t = 0\) si trova nello stato \( \small Ψ(x,t) = \frac{1}{\pi\sqrt{2a}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(ka)}{k}e^{i(kx - \frac{\hslash k^2}{2m}t)} dk \) ,

Se disegniamo la \(\small |Ψ(x,t)|^2 \) al tempo \( \small t_0 = 0\) [linea rossa] e \( \small t_1 = \frac{ma^2}{\hslash }\) [linea gialla]

il grafico ci dice che la tempo \( \small t_0 = 0\) abbiamo probabilità equivalente di tovare la particella in qualunque punto fra \( \small [ -a , +a]\) e probabilità \( \small 0 \) di trovarla al di fuori dell'intervallo, poi, con il passare del tempo, si comincia ad evere probabilità non nulla di trovarla anche al di fuori di \( \small [ -a , +a]\) con la tipica figura di diffrazione di un'onda. Questo significa che se si ha un flusso di particelle identiche, come quello emesso da un pennello elettronico o da un raggio di luce laser, si hanno maggiori probabilità che incontrino la lastra che le evidenzia, operazione di misura, in un punto dove la \(\small |Ψ(x,t)|^2 \) ha valori maggiori. Dopo un grande numero di "misure", la lastra evidenzierà una figura come quella del grafico: sarà più impressionata, più chiara, in proporzione al valore di \(\small |Ψ(x,t)|^2\).

 

  • Se si riesegue una misura di posizione sulla stessa particella subito dopo avere eseguito la prima, ci si aspetta che essa si trovi ancora nello stesso punto, per cui dopo la prima misura la probabilità di trovare la particella nell'intervallo \( \small [ a , b]\) deve essere \(\small 1 \), ossia si deve avere il \(\small 100 \% \) di probabilità di trovare la particella fra \(\small a \) e \(\small b\): ma \(\ \int_{a}^{b} Ψ(x,t) < 1 \), per questo si introduce il postulato del collasso: una misurazione cambia la funzione d'onda, cambia lo stato della particella da \(\small Ψ(x,t)\) a \(\small Ψ_1(x,t)\) e deve essere \(\small \int_{a}^{b} |Ψ_1(x,t)|^2dx = 1\)

 

Interpretazione statistica generalizzata

Generalizzando il discorso per tutti i tipi di osservabili, tutti i tipi di misura:

  • ad ogni una osservabile \(\small O \) è associato un operatore \(\small \hat{O} \), ossia una "funzione" che trasforma la funzione d'onda in un'altra funzione \(\small \hat{O} Ψ(x,t) = Φ(x,t) \);
  • se per un certo stato \(\smallΨ(x,t) \) si ha che \(\small \hat{O} Ψ(x,t) = oΨ(x,t) \), con \(\small o \) costante reale , ossia l'applicazione dell'operatore \(\small \hat{O} \) ha come risultato la stessa \(\smallΨ(x,t) \) moltiplicata per una costante reale , allora l'esecuzione della misura per l'osservabile \(\small O \) darà come risultato certamente il valore \(\small o \); se una particella si trova in uno di questi stati, si dice che è in uno stato "determinato", oppure in un "autostato" dell'osservabile \(\small O \), oppure che la \(\smallΨ(x,t) \) è una "autofunzione" dell'operatore \(\small \hat{O} \) con "autovalore" \(\small o \);
  • gli operatori fondamentali sono:
    - posizione \(\small \hat{x} = x \)
    - quantità di moto \(\small \hat{p} = \frac{\hslash}{\imath} \frac{d }{dx} \)
    e qualunque altra osservabile può essere scritta come funzioni di queste, in modo corrispondente al mondo classico che qualunque grandezza fisica (osservabile) può essere scritta come funzione della posizione e della quantità di moto di una particella, ad esempio: l'energia cinetica è \(\small \hat{K} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = \frac{1}{2m} {(\frac{\hslash}{\imath}\frac{d }{dx})}^2 \) , mentre l'energia totale o Hamiltoniana è \(\small \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x,t) = -\frac{\hslash^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x,t) \)
  • se si ha che \(\small \hat{O} Ψ(x,t)\neq o Ψ(x,t) \) la grandezza \(\small O \) non ha un valore definito nello stato \(\smallΨ(x,t) \), allora il meglio che si può sperare è di ottenere un valore medio, detto valore di aspettazione, in una serie di misure su sistemi tutti preparati in modo identico definito dall’espressione: \(\small < O >   = \int Ψ(x,t)\hat{O} Ψ^*(x,t)\),
  • è sempre possibile per le funzioni d'onda che rappresentano stati fisici reali scomporre la \(\smallΨ(x,t) \) come somma di stati determinati \(\small Ψ_n(x,t)\) che sono autofunzioni del'operatore \(\small \hat{O} \).

Riassumendo:

se si ha che \(\small Ψ(x,t) = \sum_n c_nΨ_n(x,t)dx \) e \(\small \hat{O}Ψ_n(x,t) = o_nΨ_n(x,t) \), ossia le \(\small Ψ_n(x,t)\) sono autofunzioni dell'operatore \(\small \hat{O} \), allora l'esecuzione di una misura per l'osservabile \(\small O \) associata all'operatore \(\small \hat{O} \) all'istante \(\small t \) ha probabilità \(\small |c_n|^2\) di fornire il valore \(\small o_n \) e fa passare il sistema dallo stato \(\small Ψ(x,t) \) allo stato \(\small Ψ_n(x,t) \). Il valore medio o di aspettazione per l'osservabile \(\small O \) diventa: \(\small < O >   = \sum_n |c_n|^2 o_n\)

Per completezza:

si ha sempre che le funzioni \(\small Ψ_n(x,t) \) sono linearmente indipendenti tra loro, \(\small Ψ_n(x,t)Ψ_m^*(x,t) = 0 \) quando \(n \neq m\), e che le funzioni \(\small Ψ_n(x,t) \) sono normalizzate, \(\small Ψ_n(x,t)Ψ_n^*(x,t) = 1 \) .

 

Nel caso in cui il potenziale che agisce sulla particella non dipenda dal tempo, ossia \(\small V = V(x) \), si ha che la funzione d'onda è del tipo \(\small Ψ(x,t) = ψ(x)f(t) = ψ(x) e^{-iωt} \), dove \(\small ψ(x)\) rappresenta l'oscillazione nello spazio e \(\small f(t)\) rappresenta l'oscillazione nel tempo. Questi stati sono detti stati stazionari  in quanto
\(\small |Ψ(x,t)|^2 = Ψ(x,t)Ψ^*(x,t) = ψ(x) e^{-iωt} ψ^*(x) e^{iωt} = ψ(x)ψ^*(x) = |ψ(x)|^2 \),
ossia il valore delle osservabili dipendono solo dalla \(\small ψ(x) \) e non dipendono dal tempo.
In questi casi come funzione d'onda si può utilizzare solo la \(\small ψ_n(x) \) anche se la "vera" funzione d'onda rimane \(\small Ψ_n(x,t) = ψ_n(x)e^{-iω_nt} \), il risultato non cambia.
La somma di stati stazionari può dare uno stato non stazionario: \( \small |Ψ(x,t)|^2 = |c_1Ψ_1(x,t) + c_2Ψ_2(x,t)|^2 = |c_1ψ_1(x)e^{-iω_1t} + c_2ψ_2(x)e^{-iω_2t}|^2 = \)
\( \small = c_1^2ψ_1(x)^2 + c_2^2ψ_2(x)^2 + 2c_1c_2ψ_1(x)ψ_2(x)cos((ω_2 -ω_1)t) \)

Nella figura seguente i primi due grafici si riferiscono a stati stazionari e la \( \small |Ψ|^2 \) è fissa, costante nel tempo, mentre il terzo si riferisce ad uno stato non stazionario e si vede che la \( \small |Ψ|^2 \) varia nel tempo:


StationaryStatesAnimation" by Sbyrnes321 - Own work. Licensed under CC0 via Commons.
La linea blu disegna la parte reale di \( \small Ψ \), mentre la linea rossa quella immaginaria.

 

Paricella nella scatola o buca infinita

Il confinamento di una particella in una zona limitata dello spazio è un caso concreto Ad esempio nell'elettronica quando un elettrone è confinato in uno strato semiconduttore fra due strati isolanti, oppure in chimica un elettrone confinato fra due molecole. E' l'analogo del punto materiale libero di muoversi fra due vincoli perfettamente elastici.

La soluzione dell'equazione di Schrödinger per questa situazione è:

\(\small Ψ(x,t) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{nπ}{L}x)e^{-i\frac{ n^2π^2\hslash }{2mL^2}t} \) con \(\small n = 1,2,3,... \) chiamato numero quantico.

Se applichiamo l'operatore energia totale Hamiltoniano \(\small \hat{H} \) si ha che \(\small \hat{H}ψ(x) = \frac{n^2π^2\hslash^2}{2mL^2}ψ(x) = E_n ψ(x)\), si vede che:

  • la \(\small ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{nπ}{L}x) \) è una autofunzione dell'operatore energia con autovalore \(\small E_n = \frac{n^2π^2\hslash^2}{2mL^2} \),
  • una particella in questo stato è in uno stato "determinato" di energia in quanto una misura di energia fornisce con certezza il valore \(\small E_n \);
  • è uno stato stazionario in quanto \(\small |Ψ(x,t)|^2 = |ψ(x)|^2 \)
  • si ha la quantizzazione dell'energia in quanto i soli valori possibili di energia sono \(\small E_1 = \frac{π^2\hslash^2}{2mL^2} \)    \(\small E_2 = \frac{4π^2\hslash^2}{2mL^2} \)  ...  \(\small E_n = \frac{n^2π^2\hslash^2}{2mL^2} \), con \(\small n > 0 \): questa è una differenza enorme rispetto al caso classico del punto materiale in cui sono possibili tutti i valori di energia; inoltre per la particella l'energia non può essere nulla, la particella non può essere ferma, mentre per il punto materiale l'energia può essere = 0 e essere quindi fermo.

Se disegnamo la \(\small ψ(x)\) e la \(\small |ψ(x)|^2 \) per avere la densità di probabilità di trovare la particella nell'esecuzione di una misura di posizione si vede che:

  • si hanno le tipiche onde stazionarie di un'onda vincolata fa due estremi,
  • la probabilità di trovare la particella in un qualunque punto \(\small x\) fra 0 e L è molto diversa da quello del caso classico dove il punto matriale può essere trovato in modo equiprobabile in qualunque punto fra 0 e L, linea grigia tratteggiata, mentre la particella può essere trovata con maggiore probabilità in alcuni zone e "non può" essere trovata in altre, dove \(\small ψ(x) = 0\).

Se abbiamo una particella nella sovrapposizione di stati, ad esempio n1 + n2, la funzione d'onda diventa:

\(\small Ψ(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2}}(ψ_{1}(x)e^{-iE_1t/\hslash} + ψ_{2}(x)e^{-iE_2t/\hslash}) = \frac{1}{\sqrt{2}}Ψ_1(x,t) + \frac{1}{\sqrt{2}}Ψ_2(x,t) \)

da cui si vede che ad una misura dell'energia totale abbiamo il 50% di probabilità di trovare \(\small Ψ_1\) con valore di energia \(\small E_1 = \frac{π^2\hslash^2}{2mL^2} \) oppure \(\small Ψ_2\) con valore di energia \(\small E_2 = \frac{2π^2\hslash^2}{2mL^2} \): la particella ha un valore indeterminato di energia.

Infatti la particella non è in uno stato stazionario:

\(\small |Ψ(x,t)|^2 = \frac{1}{L}ψ_{1}^2 + \frac{1}{L}ψ_{2}^2 + \frac{2}{L}ψ_{1}ψ_{2} cos((E_2-E_1)t/\hslash) \)

la probabilità di trovare la particella in \(\small x \) dipende dal tempo:


(PD) Image: Pieter Kuiper: The time-evolving probability density for a coherent superposition of the first two energy eigenfunctions n=1 and n=2

 

Sistemi a più particelle

Se il sistema da descrivere è formato da più particelle l'equazione di Schrödinger diventa:

\[\imath\hslash\frac{\partial Ψ(x_1,x_2, ... ,t)}{\partial t} = \sum_i \frac{-\hslash^2}{2m_i}\frac{\partial^2 Ψ(x_1,x_2,..., x_n ,t)}{\partial^2x_i} + V(x_1,x_2,..., x_n,t)Ψ(x_1,x_2,...,x_n,t)\]

Nel caso in cui si abbia il potenziale indipendente dal tempo e sia possibile scriverlo come sovrapposizione dei potenziali delle singole particelle, \(\small V(x_1, x_2, ... . x_n) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + ... . + V_n(x_n) \), ossia le particelle risultano indipendenti tra loro e non interagenti, la funzione d'onda risulta il prodotto delle funzioni d'onda di singola particella \( Ψ(x_1, x_2, x_3, ... . x_n) = Ψ_1(x_1) Ψ_2(x_2) ... . Ψ_n(x_n)\). In questo caso la probabilità di trovare in una misura di posizione le \( n \) particelle negli intervalli \( dx_1, dx_2, ..., dx_n \) diventa: \( |Ψ(x_1, x_2, x_3, ... . x_n)|^2 dx_1dx_2...dx_n \) . L'equazione agli autovalori si riduce ad \( n \) equazioni di singola particella e l'energia è \( E = E_1 + E_2+ ... + E_n \).

... da completare ...

 

Notazione di Dirac essenziale

Nella notazione di Dirac ad ogni stato di un sistema descritto dalla funzione d’onda Ψ , si associa un vettore chiamato ket denotato dal simbolo |Ψ> e viene chiamato vettore di stato.

Questa notazione permette di scrivere all'interno del ket |...> una qualunque descrizione che sinteticamante dice che la particella è in uno stato tale per cui se si esegue una misura sulla particella per quella determinata osservabile il valore è quello descritto. Ad esempio se si esegue una misura di energia su una particella nello stato \(\small ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{π}{L}x) \) si ha con certezza il valore \(\small E_1 \), allora lo stato si può scrivere sinteticamente \(\small \left|E_1\right>\), se fosse nello stato con n=4: \(\small \left|E_4\right>\), se fosse nello stato di sovrapposizione n1 + n4 descritto sopra: \(\small \left|E_{1+4}\right> = \frac{1}{\sqrt{2}} \left|E_{1}\right> + \frac{1}{\sqrt{2}} \left|E_{4}\right>\).

Questa notazione è molto comoda per quelle osservabili associate ad una procedura di misura del tipo: "se la particella supera con certezza il test '....' allora è nello stato |X>". Ad esempio:

  • se la particella supera con certezza un test di polarizzazione verticale allora è nello stato \(\small \left| V \right>\),
  • se la particella supera con certezza un test di polarizzazione orizzontale allora è nello stato \(\small \left| O \right>\) ,
  • una particella polarizzata a 45° è nello stato \(\small \left|45\right> = \frac{1}{\sqrt{2}}\left|O\right> + \frac{1}{\sqrt{2}}\left|V\right> \)
    e ha il 50% probabilità di superare il test di polarizzazione verticale o il 50% di superare il test di polarizzazione orizzontale

 

Entanglement - Non-località

... da completare ...

http://physicsworld.com/cws/article/news/2013/may/23/quantum-microscope-peers-into-the-hydrogen-atom
The wavefunction is a central tenet of quantum theory – put simply, it contains the maximum knowledge that is available about the state of a quantum system. More specifically, the wavefunction is the solution to the Schrödinger equation. The square of the wavefunction describes the probability of where exactly a particle might be located at a given time. Although it features prominently in quantum theory, directly measuring or observing the wavefunction is no easy task, as any direct observation destroys the wavefunction before it can be fully observed.

 

Tutto questo avviene perché vi è una interazione fra enti fisici e qui si può introdurre il punto notevole descritto bene da G.C Ghirardi: "Se i sistemi fisici prima della misura non sono (né possono essere pensati essere) in uno dei due stati sovrapposti e se la misura è un processo fisico descritto dalla meccanica quantistica ( che essendo una teoria lineare implica che le sovrapposizioni si conservano per evoluzione) quando e perché avviene la riduzione, ovvero, i nostri processi di misura hanno esiti che corrispondono alle nostre definite percezioni? La risposta ortodossa è che, per riferirmi al dubbio del lettore, l'interazione con sistemi microscopici preserva le sovrapposizioni, quindi non è l'interazione dell'elettrone con un altro elettrone o un quanto del campo elettromagnetico che costringe il sistema a "scegliere" il suo stato (e questo è certamente vero ed è stato sperimentalmente verificato un'infinità di volte). Tuttavia, secondo l'ortodossia, è la natura macroscopica dell'apparato che viene innescato dalla particella o da quelle con cui essa ha interagito che porta a una sola delle due situazioni possibili." [http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/domanda/2004/Ucau041218d001/]

Da http://ulisse.sissa.it - Dott. Marco Musardo:

"Lo stato di un sistema è definito da una funzione d'onda, dipendente dalle coordinate e dal tempo. Il suo significato è quella di ampiezza di probabilità e il suo modulo quadro rappresenta una densità di probabilità. Prima della misura il sistema si trova in una sovrapposizione di stati, in conseguenza della misura la funzione d'onda che descrive lo stato "collassa" in un autostato in cui la grandezza, l'osservabile fisico, ha un certo determinato valore, e la misura da come risultato un ben definito numero.
...
il collasso della funzione d'onda è parte integrante della meccanica quantistica per gli aspetti che implica una misura, ma non è previsto dall'equazione di Schrodinger.
...
L'equazione di Schrodinger è un'equazione lineare e simmetrica nel tempo e quindi strettamente deterministica e, in quanto tale, permette di conoscere tutti i possibili stati di un sistema ad un qualsiasi istante, presente, passato e futuro. Quest’apparente contraddizione è spiegata dal fatto che la descrizione fornita dall'equazione di Schrodinger vale solo per i sistemi chiusi, quelli che non interagiscono con l'esterno. Nel caso di una misura, siamo in presenza di un sistema aperto con l'osservatore che scambia energia con l'oggetto della sua osservazione."

 

Sempre da http://ulisse.sissa.it - Prof. Giuseppe Mussardo:

"... il processo di misura viene attualmente interpretato come l'interazione di un sistema soggetto alle leggi quantistiche, con un apparato soggetto invece a leggi classiche."

 

Che la Ψ abbia o no un significato fisico non è ancora stato definito, anzi il pensiero corrente più diffuso è che non abbia nessun significato fisico se non quello che assieme all'interpretazione statistica e al collasso rappresenta il modo che abbiamo di prevedere in modo notevole il comportamento delle particelle e la loro interazione con i sistemi classici.

 

Tutto ciò implica suddivedere il mondo in 2 parti distinte: le particelle descritte dalla funzione d'onda che sono in sovrapposizione di stati, il "mondo quantistico", e l'apparato di misura che non può essere in sovrapposizione di stati, il "mondo classico".

Questi sono problemi da un punto di vista logico-conoscitivo in quanto dal punto di vista operativo, "FAPP - For All Practical Purposes", l'utilizzo della Ψ per prevedere gli esiti delle misure e separare la funzione d'onda prima della misura da quella dopo la misura, capire quando si passa dalla sovrapposizione di stati a uno stato che fornisce il valore della misura, ovvero l'intervento di un sistema macroscopico non descrivibile in termini quantistici, sono operazioni che qualunque fisico sperimentale affronta tutti i giorni in modo corretto.

 

Penso che la discussione sulla misura sia equivalente alla discussione sul cercare o meno di dare un significato fisico alla funzione d'onda Ψ. Se la Ψ non ha significato fisico, ma è solo una mezzo matematico per prevedere gli esiti delle misure, allora anche il collasso è tale e quindi non è importante andare oltre nella sua comprensione se non dal punto di vista matematico.


   Il paragrafo seguente sono mie personali idee quindi con nessuna validità scientifica!

"A questo punto è opportuno ricordare che la scienza opera solo su enti osservabili e che possiamo osservare un oggetto solo facendolo interagire con qualche agente esterno. [...] dobbiamo supporre che esista un limite per il grado di finezza dei nostri mezzi di osservazione, e di conseguenza un estremo inferiore per l'entità della perturbazione che accompagna l'osservazione stessa, limite che è inerente alla natura stessa delle cose e che non può essere superato mediante tecniche migliori o maggior perizia da parte dell'osservatore."

[Paul A. M. Dirac, "I principi della meccanica quantistica", pag. 4]

 

"interazione: genericamente ogni processo mediante il quale due o più sistemi, o corpi, o particelle, anche di natura diversa, agiscono uno sull’altro, con conseguenti reciproche modificazioni del loro stato o della loro energia"

[Treccani alla voce "interazione:" ]

 

"Ogni processo fisico è rappresenta una catena di eventi collegati causalmente. La relazione causale richiede che gli eventi siano disposti secondo un certo ordine non solo nello spazio tridimensionale, ma anche nel tempo e la descrizione matematica di ogni fenomeno fisico, dal semplice spostamento nello spazio di un oggetto puntiforme fino alle più complesse trasformazioni di qualità, consiste sempre nello stabilire l'ordine in cui gli eventi esaminati sono disposti nello spazio e nel tempo. La fisica fissa le leggi che governano la natura e che consentono, a partire dai dati iniziali e tenendo conto delle relazioni causali, di prevedere l'intera catena successiva di eventi. Una tale descrizione richiede l'introduzione per ciascuna variabile di una misura quantitativa e ad ogni singolo evento assegnare valori numerici corrispondenti a tre coordinate spaziali e ad una temporale rispetto ad un certo sistema di riferimento."

[Aleksej Tyapkin, in "Fisica" Di Vincenzo Paticchio pag.103]

 

Si può dire che la fisica studia tutto ciò a cui può essere associato ad una grandezza fisica tramite una procedura di misura cercando le leggi che relazionano tali grandezze Questo 'qualcosa' a cui si associano grandezze fisiche viene chiamato ente fisico.

 

Per ottenere dei valori di misura dobbiamo far interagire il nostro ente con un altro e questa interazione produce qualche cambiamento su entrambi gli enti: elaborando le variazione del secondo si può associare un numero ad una proprietà dell'ente allo studio. Chiamamo questo secondo ente misuratore e il processo con cui si determina un valore di misura misurazione, la grandezza fisica a cui vogliamo attribuire un valore misurando o osservabile e l'ente allo studio sistema.

 

In fisica classica si fa l'ipotesi che le interazioni siano continue e deterministiche, ossia che si possono descrivere con funzioni continue e derivabili, per cui è possibile eseguire una misura in modo tale che la modifica dello stato del sistema, ossia l'insieme dei valori delle grandezze fisiche che lo definiscono, a causa della misura stessa avvenga in modo controllabile e quantificabile in base alle leggi conosciute da permetterci di conoscere esattamente lo stato prima e dopo l'esecuzione e quindi conoscere esattamente il valore di ogni grandezza fisica che lo definisce. Grazie a questo possiamo pensare che lo stato sia oggettivamente posseduto dall'ente: "possedere oggettivamente significa indipendentemente da qualsiasi osservatore, e anche indipendentemente dal fatto che la misura venga o no eseguita." [prof. Elio Fabri. Fondamenti della meccanica quantistica, cap. 6]

 

Le misurazioni per fornire risultati validi e ripetibili avvengono nei laboratori, ma non sono un cosa che ha senso solo lì: queste 'avvengono' anche in ogni momento in natura nel senso che un ente fisico può evolvere, cambiare il suo stato, in base ai valori delle sue grandezze fisiche e, eventualmente, a quelle di un ente con cui interagisce, indipendentemente dal fatto che noi ne siamo a conoscenza e quindi con la possibilità di associarvi dei numeri. Faccio un esempio: quando elettrone 'incontra' un campo elettrico in base hai valori delle sue grandezze fisiche e a quelle presenti in quel punto in quel momento fa una cosa o un'altra. La misurazione è cercare di determinare tali valori per creare un modello matematico che preveda la sua evoluzione. Questa associazione misurazione-comportamento della natura è quello che ci permette di utilizzare i risultati ottenuti nei laboratori nel mondo reale.

 

"va riconosciuta una esistenza reale sia ai corpuscoli materiali discreti che ai campi continui. Questi enti fisici evolvono in modo preciso nello spazio sotto l'influenza delle loro mutue interazioni codificate dalle equazioni della meccanica e dell'elettromagnetismo le quali dovrebbero consentire, almeno in linea di principio, la comprensione di tuti i processi del mondo fisico"

[Dal libro "Un'occhiata alle carte di Dio" di Gian Carlo Ghirardi, pag.3]

 

La fisica classica ha scoperto che esistono grandezze fisiche di un ente che non variano anche quando interagiscono con altri enti e che possono essere assegnate ad enti sempre ben localizzati nello spazio-tempo, approssimabile con un punto nello spazio, per cui è possibile tracciarne la traettoria: ad ogni istante hanno una ed una sola posizione e due di questi enti non possono avere la stessa posizione nello stesso istante. Questo significa che tali enti possono essere rilevati tramite una interazione con un misuratore sempre in un solo e unico punto. Questi enti sono chiamati particelle.

Le particelle sono responsabili di generare altre grandezze fisiche distribuite in modo continuo nello spazio e nel tempo che sono capaci di modificare lo stato di altre particelle: questi enti sono chiamati campi di forza. Due campi generati da due particelle possono coesistere nello stesso punto nello stesso tempo. Se sono dello stesso tipo la grandezza misurata è la somma delle grandezze misurate singolarmente per ciascuna particella (vale il principo di sovrapposizione), se sono di tipo diverso uno non altera le caratteristice dell'altro. Hanno la particolarità che una variazione di una loro proprietà in una regione spazio-temporale si propaga nelle altre regioni con la modalità delle onde e con velocità finita, trasportando energia e quantità di moto. La stessa onda (campo) può interagire nello stesso istante sui più particelle che occupano posizione diverse e l'ampiezza dell'interazione dipende dall'intensità del campo/dall'ampiezza dell'onda.

Quindi possiamo descrivere l'evoluzione spazio-temporale di una particella come una sequenza continua di eventi di interazione.

 

 

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http://www3.unisi.it/fisica/laureescient/2005-09/orientam/stage/2009/mariotti_fisica_quantistica.pdf

Semplificando oltre il consentito possiamo affermare che un sistema fisico costituito da particelle materiali soggette a forze, viene descritto nel modo seguente:

  • si precisa la posizione spaziale e temporale dei punti materiali in relazione ad un prefissato riferimento (ovvero i parametri spazio-temporali o parametri esterni)
  • si precisano le proprietà intrinseche di ciascuna particella come ad esempio la massa, spin, carica elettrica etc. etc. (ovvero i parametri interni);
  • noti i parametri esterni ed interni risulta possibile calcolare le forze e, attraverso l’equazione dinamica che governa il sistema (ad F=ma) nel caso dei fenomeni meccanici), descrivere la sua evoluzione temporale.

[Estratto da "Lezioni di Fisica delle Particelle" Prof. Nicola Semprini Cesari del 28/12/2013, pag. 167 ] .

 

https://www.ge.infn.it/~zanghi/zanghi_allori.pdf pag. 22 Einstein : Il “reale” in fisica dev'essere inteso come un tipo di programma, che però non siamo costretti ad abbracciare a priori. Probabilmente, non c'è nessuno che voglia tentare di rinunciare a questo programma nel campo del “macroscopico” (posizione del segno sul nastro di carta “reale”). Ma il “macroscopico” e il “microscopico” sono cosi connessi fra loro che rinunciare a questo programma nel solo “microscopico” sembra impossibile a farsi. E, in una lettera a Schrödinger, datata 1935, affermava: La vera difficoltà sta nel fatto che la fisica è un tipo di metafisica; la fisica descrive “la realtà”. Ma noi non sappiamo cosa sia “la realtà”, se non attraverso la descrizione fisica che ne diamo di essa.

 

"Il processo di misura possiede nella meccanica quantistica una proprietà essenziale: esso influisce sempre sull'elettrone, oggetto della misura, e questa influenza, in linea di principio, non può essere resa per una data precisione di misura arbitrariamente debole."

[Landau-Lifsits

 

"Ammettere l’esistenza d’entità non visibili alle creature grossolane che noi siamo è, a mio parere, mostrare una decorosa umiltà, e non piuttosto una deplorevole dipendenza dalla metafisica"

, "Meccanica quantistica - Teoria non relativistica", pag. 18]

 

"L'assenza di una traiettoria determinata per l'elettrone lo priva parimenti di qualsiasi altra caratteristica dinamica. E' chiaro quindi che per un sistema formato esclusivamente da oggetti quantistici non si potrebbe costruire affatto una meccanica logicamente chiusa. La possibilità di descrizione quantitativa del movimento di un elettrone richiede al tempo stesso l'esistenza di oggetti fisici che obbediscano con precisione sufficiente alla meccanica classica. Se un elettrone entra in interazione con un *oggetto classico* lo stato di quest'ultimo, in generale, cambia. Il carattere e la grandezza di questo cambiamento dipendono dallo stato dell'elettrone e possono quindi servirgli di caratteristica quantitativa. "Pertanto l'*oggetto classico* è comunemente detto *strumento* e si parla del suo processo di interazione con l'elettrone come di una *misura* [...] Abbiamo definito lo strumento come un oggetto fisico che obbedisce con precisione sufficiente alla meccanica classica."

[Landau-Lifsits, Meccanica quantistica Teoria non relativistica, pag. 17]

 

"Infine, mi sembra di estrema rilevanza sottolineare la struttira concettuale dell'interpretazione della teoria in prospettiva epistemologica: la teoria fa solo asserzioni probabilistiche circa i risultati dei procedimenti di misura su sistemi fisici ma condizionate al fatto che le misure vengano effettivamente eseguite"

[Dal libro "Un'occhiata alle carte di Dio" di Gian Carlo Ghirardi, pag. 119]

 

"Il collasso della funzione d'onda è parte integrante della meccanica quantistica per gli aspetti che implica una misura, ma non è previsto dall'equazione di Schrodinger. [...] L'equazione di Schrodinger è un'equazione lineare e simmetrica nel tempo e quindi strettamente deterministica e, in quanto tale, permette di conoscere tutti i possibili stati di un sistema ad un qualsiasi istante, presente, passato e futuro. Quest’apparente contraddizione è spiegata dal fatto che la descrizione fornita dall'equazione di Schrodinger vale solo per i sistemi chiusi, quelli che non interagiscono con l'esterno. Nel caso di una misura, siamo in presenza di un sistema aperto con l'osservatore che scambia energia con l'oggetto della sua osservazione."

[http://ulisse.sissa.it - Dott. Marco Musardo]

 

"Ammettere l’esistenza d’entità non visibili alle creature grossolane che noi siamo è, a mio parere, mostrare una decorosa umiltà, e non piuttosto una deplorevole dipendenza dalla metafisica"

[Bell J.S., Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, 2a ed.]

 

 

 

In meccanica quantistica la variazione di stato non è più trascurabile ed inoltre è casuale e quindi non è più possibile utilizzare una funzione continua per collegare i valori di misura ottenuti, ossia la m.q. è solo in grado di predire un valore di misura preso da un insieme di valori possibili e collegare statisticatamente questi valori.

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Da scrivere:
misura e processi reali similitudine
anche i campi si misurano con particelle
esitenza
preminieza particella (?)
in m.q. si deve usare la fisica classica
In fisica classica quindi dato lo stato di una particella e i campi di forza con cui intergagisce è possibile calcolare come questo varia nel tempo e nello spazio ed è possibile verificarlo (misurare) con la precisione desiderata. Se una particella è in un determenato stato ed intergisce con un determinato campo di forze il suo stato evolve in modo univocamente determinato.

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Il processo di misura possiede nella meccanica quantistica una proprietà essenziale: esso influisce sempre sull'elettrone, oggetto della misura, e questa influenza, in linea di principio, non può essere resa per una data precisione di misura arbitrariamente debole

[Landau-Lifsits, "Meccanica quantistica - Teoria non relativistica", pag. 18]

Dell'interazione, che si propaga da una particella ad un'altra, si parla spesso come di un «segnale» emesso dall'una per « informare » l'altra circa un cambiamento da essa subito. Si parla allora della velocita di propagazione delle interazioni come della « velocita di un segnale ». (Landau-Lisits Campi pag. 14)

Ogni misurazione è un’operazione chiaramente definita che dà un determinato risultato numerico e che, se immediatamente ripetuta, darà lo stesso risultato ”. E.Schröedinger

La misura è sempre il risultato dell'interazione fra due sistemi fisici

 

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Per variabili dinamiche s'intendono quantità quali le coordinate, le componenti della velocità, dell'impulso e del momento angolare di particelle, e funzioni di tali grandezze: in sostanza s'intendono le variabili in funzione delle quali è costruita la meccanica classica. Dirac pag. 35

("Pertanto l'*oggetto classico* è comunemente detto *strumento* e si parla del suo processo di interazione con l'elettrone come di una *misura*. ... Abbiamo definito lo strumento come un oggetto fisico che obbedisce con precisione sufficiente alla meccanica classica." Landau-Lisits MQ pag. 17)

Se non avvennisse nessuna modifica nel misuratore, ossia non si avesse interazione fra l'ente osservato e il misuratore, non potremmo dire niente sull'ente osservato e al limite

La variazione prodotto

Tutta la fisica classica si basa su i due enti fisici 'particella' e 'campo', gli enti a cui possiamo associare ad un certo istante \(\small t \) una grandezza fisica. Per ottenere dei valori di misura dobbiamo far interagire il nostro ente con un altro e questa interazione deve produrre qualche cambiamento su quest'ultimo da qualche parte: valutando queste variazioni possiamo associare un numero ad una proprietà del nostro ente osservato.


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Inoltre affinchè questi cambiamenti siano per noi rilevabili devono essere , ossia quelli che normalmente si chiamano macroscopici.
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Le grandezze fisiche di base sono la massa inerziale, e la posizione: queste grandezze sono le uniche che possiamo attribuire agli enti, le altre sono funzioni di queste.
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Leggendo le descrizioni degli esperimenti che descrivono le peculiarità della meccanica quantistica e la loro spiegazione ho capito che:

  • il tutto si comporta come un'onda a parte il fatto che ad una misura si 'presenta' una particella,
  • la non-località è un fatto di natura,
  • l'atto della misura modifica il sistema

e quindi tali esperimenti e spiegazioni mi è sembrato di capirli un po' meglio leggendoli in questo modo:

  • la materia è un campo, una proprietà distribuita nello spazio, che si "muove" come un'onda trasportando energia;
  • l'energia può essere scambiata solo per quanti in un solo punto della spazio o comunque in una regione limitata;
  • la materia e le particelle sono l'effetto dello scambio di energia;
  • la \(Ψ(x,t)\) rappresenta il campo di materia;
  • \( |Ψ(x,t)|^2dx\) è la probabilità che l'energia venga scambiata in dx e l'equazione agli autovalori \(\small \hat{O} Ψ(x,t) = o Ψ(x,t) \) , con o reale, rappresenta questo scambio di energia, in analogia ad un campo di corrente elettrica che può scambiare energia solo se in \(\small \hat{V} = Z \hat{I} \) \(\small Z \) è reale, la parte resistiva;
  • lo scambio di energia cambia lo stato del sistema e quindi cambia la funzione d'onda.
  • la misura, o per meglio dire, la misurazione, comporta sempre uno scambio di energia fra il misurando e il sistema di misura;

E' chiaro che tutto ciò implica una non-località poichè esiste una proprietà distribuita nello spazio che si manifesta in un punto e cambia in tutto lo spazio "istantaneamente" ma, d'altra parte, la non-località è una caratteristica della natura già evidenziata sperimentalmente.

Con questa 'lettura' si ha che:

  • la dualità onda-particella non esiste più: quando si ha propagazione di energia si ha un'onda e quando si ha scambio di energia si ha l'effetto di una particella;
  • le osservabili posizione e quantità di moto non possono essere lo stato del sistema e si può averne un valore solo se si esegue una misura;
  • non ci si deve chiedere più dove era la particella prima della misura in quanto prima della misura la particella non esiste: la particella, effetto della misura, ci dice come e dove è avvenuto lo scambio di energia;
  • il concetto di traettoria non ha più senso e il principio di indeterminazione di Heisenberg assume il suo naturale significato di impossibilità di creare un pacchetto d'onde con arbitrari \(\small \triangle k \) e \(\small \triangle x \);
  • la \(Ψ(x,t)\) rappresenta lo stato del sistema ed è separato dagli esisti delle misure: la funzione d'onda descrive la propagazione dell'energia e utilizza le proprietà tipiche delle onde frequenza, ampiezza e sovrapposizione, la misurazione fa avvenire lo scambio di energia in un punto che deve essere descritto in termini di posizione e quantità di moto, e anche quest'ultima è una misura della variazione della posizione nel tempo;
  • gli esperimenti a "doppia fenditura" ritornano ad essere normali esperimenti di interferenza-diffrazione anche nel caso in cui si inserisce un "rivelatore ideale" in prossimità di un foro: un "rivelatore ideale" non esiste, qualunque misura comporta un scambio di energia; l'onda passa sempre per entrambi i fori e se si esegue una misura per evidenziare il passaggio per un determinato foro la funzione d'onda cambia facendo scomparire la figura d'interferenza;
  • infine, forse la cosa più importante, permette di suddividere il mondo quantistico da quello classico: il primo è quello del "movimento" dell'energia, il secondo è quello del continuo scambio di questa energia. Nel primo è valido il principio di sovrapposizione, nel secondo no.

 

Sul problema della misura Bell scrive:

"La continua disputa sulla teoria quantistica della misurazione non è tra chi è in disaccordo sui risultati di semplici manipolazioni matematiche, e neppure tra chi ha idee diverse sulla effetiva utilità di misurare osservabili arbitrariamante complicate. E' tra coloro che vedono con diverso grado di preoccupazione o compiacimento il seguente fatto: fin quando la riduzione del pacchetto d'onda [1] sarà una componente essenziale, e fin quando non sapremo esattamente quando e in che modo essa sostituisce l'equazione di Schrödinger, noi non avremo una formulazione esatta e non ambigua della nostra teroria fisica più fondamentale."

John S. Bell "Dicibile e Indicibile in Meccanica Quantistica" Adelphi pag.67.

Nota 1: il termine "riduzione del pacchetto d'onda" è equivalente a "collasso".

Continuando con Bell:

"La funzione d'onda, come data dall'equazione di Schrödinger, o non è tutto o è sbagliata"

 

La "lettura un po' diversa" presentata in questo paragrafo propende per la parte "non é tutto", riferendo questa affermazione non tanto alla funzione d'onda, ma all'interpretazione introducendo un reale campo di materia e l'effetto dell'interazione fra il misurando e il sistema di misura. La misurazione richiede uno scambio di energia che comporta un cambiamento dello stato del sistema e quindi della funzione d'onda.

 

Alla fine riporto alcune citazioni avendo ben presente che di certo non confermano quanto detto sopra (anzi!), ma perlomeno danno una indicazione di come questa direzione possa essere un modo di vedere le cose.

 

Il prof. Alberto Rimini, in una sua dispensa per l'università di Pavia, scrive:

"In modo pittorico, anche se un po' alla buona, si può dire che la particella si comporta effettivamente come tale quando viene rivelata mentre si comporta come un'onda quando si propaga."
[ http://www2.pv.infn.it/~rimini/MeccanicaQuantistica/MeccanicaQuantistica1112/01_2_FunDOnda.pdf ]

 

In un articolo in cui Schrödinger riassume i suoi lavori scrive:

"the point of view taken here is rather that material points consists of, or are nothing but, wave systems" [ E. Schroedinger, "An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Phys. Rev. 28, December 1926 ]

 

John Bell nel suo famoso articolo "Against 'Measurement'", pubblicato su Physics World nell'agosto del 1990, scrive:

"In the beginning, Schroendinger tried to interpret his wave-function as giving somehow the density of the stuff of wich the world is made. He tried to think of an electron as rapresented by a wavepacket – a wavefunction appreciably different from zero over a small region in space. The extension oh that region he tought of as the actual size of the electron – his electron bit fuzzy. At first he tought that small wavepackets, evolving according to che Schroendinger’s equation. But however far the wavefunction extended, the reaction of a detector remains spotty . So Schroendinger’s “realistic” interpretation of his wavefunction did not survive. Then came the Born interpretation. The wavefunction gives not the density of the stuff, but gives rather (on squaring its modulus) the density of probability. Probability of what, exactly? Not of the electron being there, but of the electron being found there, if its position is “measured”. Why this aversion to 'being' and insistence on 'finding'? The founding fathers were unable to form a clear picture of things on the remote atomic scale. "

 

Mi rendo conto che queste possono essere idee assurde di cui non riesco a valutarne la correttezza, se abbiano veramante senso. Spero vivamente che ci possa essere qualcuno che mi aiuti a chiarirle, anche facendomi capire la loro assurdità!

  • G. Carlo Ghirardi
    Un'occhiata alle carte di Dio. Gli interrogativi che la scienza moderna pone all'uomo
    Net, 2003, ISBN 885152081X
  • John S. Bell
    Dicibile e indicibile in meccanica quantistica
    Adelphi, 2010, ISBN 8845924637, 9788845924637
  • David J. Griffiths
    Introduzione alla meccanica quantistica
    CEA, 2005, ISBN 9788808087478
  • Picasso, Luigi E.
    Lezioni di meccanica quantistica
    ETS, 2 edizione 2015, ISBN 8846743105
  • Kenichi Konishi, Giampiero Paffuti
    Meccanica quantistica: nuova introduzione
    Pisa University Press, ISBN 8867410385
  • AA.VV.
    Meccanica quantistica
    Sissa - laboratorio interdisciplinare. Laboratorio dell'immaginario scientifico
  • Werner Heisenberg
    I principi fisici della teoria dei quanti
    Bollati Boringhieri, 21 gennaio 2016, ISBN 8833927431, 978-8833927435
  • David Z. Albert
    Meccanica quantistica e senso comune
    Adelphi, 2000, ISBN 8845915336, 9788845915338
  • Richard P. Feynman
    QED: la strana teoria della luce e della materia
    Adelphi, 1989 ISBN 8845907198, 9788845907197
  • Richard P. Feynman
    Sei pezzi meno facili
    Adelphi, 2004 ISBN 884591870X, 9788845918704
  • Richard P. Feynman
    Sei pezzi facili
    Adelphi, 2000 ISBN 8845915514, 9788845915512
  • Richard P. Feynman
    Il piacere di scoprire
    Adelphi, 2002 ISBN 8845917223, 9788845917226
  • Max Born
    La sintesi einsteiniana
    Bollati Boringhieri, 1973 ISBN 8833902781, 9788833902784
  • Franco Selleri
    Fisica senza dogma: la conoscenza scientifica tra sviluppo e regressione
    EDIZIONI DEDALO, 1989 ISBN 882206089X, 9788822060891
  • Franco Selleri
    Che cos'è la realtà. Dibattito nella fisica contemporanea
    Editoriale Jaca Book, 1990 ISBN 8816402512, 9788816402515
  • Silvia Arroyo Camejo
    Il bizzarro mondo dei quanti
    Springer Science & Business Media, 2008 ISBN 8847006449, 9788847006447
  • Rainer Kaltenbaek, Bibiane Blauensteiner, Marek Żukowski, Markus Aspelmeyer, and Anton Zeilinger
    Experimental Interference of Independent Photons
    Phys. Rev. Lett. 96, 240502 – Published 21 June 2006
  • V. Jacques , E. Wu , T. Toury , F. Treussart , A. Aspect , P. Grangier , J. -f. Roch
    Single-photon wavefront-splitting interference An illustration of the light quantum in action
    Eur. Phys. J. D 35, 561–565 (2005) DOI: 10.1140/epjd/e2005-00201-y
  • Bram Gaasbeek
    Demystifying the Delayed Choice Experiments
    arXiv:1007.3977v1 [quant-ph] 22 Jul 2010
  • Matthew F. Pusey, Jonathan Barrett, Terry Rudolph
    On the reality of the quantum state
    arXiv:1111.3328v3 [quant-ph] 18 Nov 2012
  • Rainer Kaltenbaek, Bibiane Blauensteiner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger
    Experimental interference of independent photons
    10.1103/PhysRevLett.96.240502
  • Giacomo Mauro D’Ariano
    Casualità di natura ontica o epistemica? Riflessioni sulla Meccanica Quantistica.*
    QUIT Group, Dipartimento di Fisica A. Volta, Pavia
  • Prof. Carlo Cosmelli, Dipartimento di Fisica, Sapienza, Università di Roma
    Relatività e Meccanica Quantistica: concetti e idee.
    an online non-credit course authorized by Sapienza University of Rome and offered through Coursera

It's a jungle out there. So drink your Java.