Fisica MQ entanglement [In questo paragrafo alcuni spunti sono tratti dalle lezioni del prof. Daniel V. Schroeder, Department of Physics Weber State University https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/QuantumBook.pdf , https://arxiv.org/pdf/1703.10620.pdf ]

Funzione d'onda multidimensionale: non separabilità, entanglement

"L'entanglement non è uno, ma il tratto caratteristico della Meccanica Quantistica, quello che richiede il suo allontanamento più radicale da tutte le linee classiche del pensiero." [Schrödinger, 1935 ]

"... for any quantum system with more than one degree of freedom, the vast majority of allowed states exhibit “correlations” or “non-separability." [Daniel V. Schroeder, https://arxiv.org/pdf/1703.10620.pdf ]

Se consideriamo uno spazio tridimensionale $\{x,y,z\}$ la funzione d'onda diventa una funzione scalare (che ritorna un unico valore complesso) a tre variabili (più il tempo) $\Psi(x,y,z,t)$ e si deve considerare la densità di probabilità di rivelare la particella in un volume $dV = dx\ dy\ dz$ al tempo $t$
$$\rho(x,y,z,t) = |\Psi(x,y,z,t)|^2dV$$
e la condizione di normalizzazione diventa
$$ \int_{tutto V} |\Psi(x,y,z,t)|^2 dV = \iiint |\Psi(x,y,z,t)|^2 dx dy dz= 1$$
ossia la probabilità di trovare la particella in un punto qualunque di tutto lo spazio al tempo $t$ deve essere $1$: la particella da qualche parte viene rivelata e questo deve essere vero per qualunque valore di $t$.
La probabilità di rivelare la particella in un volume $V$ al tempo $t$ è l'integrale di $\rho(x,y,z,t) $ su quel volume:
$$ P_{[V]} = \int_{V} |\Psi(x,y,z,t)|^2 dV$$
Se $V$ è il volume definito dai tre intervalli $ [x_1,x_2],[y_1,y_2], [z_1,z_2]$ si ha
$$ P_{[x_1,x_2],[y_1,y_2], [z_1,z_2],t} = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2}\int_{z_1}^{z_3} |\Psi(x,y,z,t)|^2dx dydz$$
ossia si integrano le rispettive variabili solo negli intervalli desiderati.
La densità di probabilità relativa solo a $x$ si ottiene dalla funzione d'onda $\Psi(x,y,z,t)$ integrando su tutto $y$ e $z$, ossia considerando la probabilità di rivelare la particella in $]x, x+dx]$ e per qualunque valore di $y$ e $z$:
$$ \rho(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,y,z,t)|^2dydz$$
La densità di probabilità $\rho$ è diventata una funzione solo della variabile $x$, oltre al tempo $t$.





Orbitali
Visivamente, tale orbitale può essere meglio rappresentato mediante una nuvola la cui intensità del colore è proporzionale alla densità di probabilità di trovare l'elettrone in quel punto e con forme tali da comprendere il 95% della probabilità elettronica
[https://it.wikipedia.org/wiki/Orbitale_atomico ]

Gli orbitali atomici sono normalmente disegnati in una figura '3D' al cui centro ($x=0, y=0, z=0$) vi è il nucleo e con una forma tale per cui $P_{[0,x],[0,y], [0,z]} = 0.95$, quindi quella disegnata non è la traiettoria dell'elettrone, bensì il volume per cui abbiamo il $95\%$ di probabilità di rivelare l'elettrone.

Per semplicità consideriamo uno spazio bidimensionale $\{x,y\}$ e una situazione fisica stazionaria per cui le probabilità non dipendono dal tempo.
All'osservabile $x$ è associato l'operatore $\hat x$ e all'osservabile $y$ è associato l'operatore $\hat y$ e questi due operatori commutano, $[\hat x, \hat y] = 0$ e quindi è possibile avere uno stato che sia contemporaneamente uno stato determinato per $\hat x$ che per $\hat y$. Una particella in uno stato determinato di posizione $\{x_0, y_0\}$ ha una funzione d'onda data dal prodotto di due delta di Dirac:
$$ \psi(x,y) = \delta(x- x_0) \delta(y-y_0)$$
Una particella in questo stato ha probabilità $1$ di ottenere il valore $x_0$ in una misura per l'osservabile $x$ e ha probabilità $1$ di ottenere il valore $y_0$ in una misura per l'osservabile $y$ :
$$
\left.
\psi(x,y) = \delta(x- x_0) \delta(y-y_0)
\to
\right \{
\begin{array}{}
\text{ misura per x con probabilità 1di ottenere }x_0
\\
\text{ misura per y con probabilità 1 di ottenere } y_0
\end{array}
$$
Possiamo disegnare tale funzione in un piano e tramite zone riempite con una scala di grigi possiamo visualizzare la probabilità di rivelare la particella in tali zone. La gradazione di grigio indica la probabilità di rivelare la particell: più è scuro maggiore è $|\psi(x,y)|^2$ e il bianco indica le zone in cui impossibile rivelarla, dove $ | \psi(x,y)|^2 = 0 $.
posizione bidimensionale

Una funzione d'onda con una distribuzione normale (Gaussiana) sia per $x$ che per $y$ è, ad esempio:
$$ \psi(x,y) = e^{-(x-x_0)^2}e^{-(y-y_0)^2}$$
dove, sempre per semplicità, si è trascurata la normalizzazione. Una rappresentazione grafica di questa funzione può essere:
Gaussian wave packet
dove si vede che la densità di probabilità di rivelare la particella ha un massimo in $\{x_0, y_0\}$ e poi descresce man mano che ci si allontana da tale coordinata in qualunque direzione.
Una rappresentazione grafica forse più chiara è data delle seguenti figure:
Gaussiana 2D
Gaussiana 2D

Nella seconda figura i puntini neri sul piano $x,y$ rappresentano i punti in cui sono state rivelate le particelle dopo avere eseguito $N$ esperimenti tutti con particelle nello stato $\psi(x,y) = e^{-(x-x_0)^2}e^{-(y-y_0)^2}$.
Se ricaviamo le densità di probabilità per $x$ e $y$ separate:
$$\begin{array}{c}
\rho(x) = \int_{-\infty}^{\infty}|e^{-(x-x_0)^2}e^{-(y-y_0)^2}|^2dy \\
\downarrow \\
e^{-(x-x_0)^2} \text{ non dipende da } y \text{ per cui si può portare fuori dall'integrale} \\
\downarrow \\
|e^{-(x-x_0)^2}|^2\int_{-\infty}^{\infty}|e^{-(y-y_0)^2}|^2dy \\
\downarrow \\
\int_{-\infty}^{\infty}|e^{-(y-y_0)^2}|^2dy \text{ vale } 1 \text{ per la normalizzazione} \\
\downarrow \\
\rho(x) = |e^{-(x-x_0)^2}|^2
\end{array}
$$
stessa cosa per $\rho(y) = |e^{-(y-y_0)^2}|^2$,
possiamo disegnare le densità separatamente per $x$ e $y$:

particella Gaussiana XY
In una misura per $x$ si può ottenere un qualunque valore: il valore $x_0$ è il più probabile e più ci si allontana da questo valore, più le probabilità diminuiscono. Supponiamo di ottenere il valore $x_0$, per cui ora la particella è in uno stato determinato per $x$ con valore $x_0$, ossia $\delta(x - x_0)$, quindi:
$$\bbox[lavender]{e^{-(x-x_0)^2}}\bbox[mistyrose]{e^{-(y-y_0)^2}} \to \text{ misura per x con valore }x_0 \Rightarrow \bbox[lavender]{\delta(x- x_0)} \bbox[mistyrose]{e^{-(y-y_0)^2}} $$
Gaussiana Collasso
La rappresentazione grafica con $x$ e $y$ separati diventa:
Nota: le scale verticali delle ampiezze di probabilità nei grafici non corrispondono, nel senso che l'ampiezza del grafico per la $x$ dovrebbe essere molto maggiore, in quanto le aree dei due grafici dovrebbe essere per entrambe $=1$ e quindi per la $x$ si dovrebbe sviluppare in verticale con valori molto maggiori.


Ora, per una misura per $x$ si probabilità $1$ di ottenere $x_0$, mentre le probabilità per $y$ rimangono invariate (sono identiche a quelle prima della misura per $x$).

Il fatto che la densità di probabilità per $y$ non cambia a seguito di una misura per $x$ (e viceversa) è dovuto al fatto che la funzione d'onda è separabile in $x$ e $y$, ossia la funzione d'onda può essere scritta come il prodotto di una funzione che dipende solo da $x$ per una che dipende solo da $y$:
$$\psi(x,y) =\bbox[lavender]{\psi_x(x)} \ \bbox[mistyrose]{\psi_y(y)}$$
Non tutte le funzioni d'onda sono di questo tipo e un modo facile di ottenere una funzione che sia non separabile è quello di combinare 2 o più funzioni d'onda separabili in ununica funzione come combinazione lineare delle due (principio di sovrapposizione):
$$
\left.
\begin{array}{}
\psi_1(x,y) =\bbox[lavender]{ \psi_{x1}(x)} \ \bbox[mistyrose]{ \psi_{y1}(y)} = \bbox[lavender]{e^{-(x-a)^2}}\ \bbox[mistyrose]{ e^{-(y-b)^2}} (\text{ separabile in } x \ y ) \\
\psi_2(x,y) = \bbox[lavender]{\psi_{x2}(x)} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{y2}(y)} =\bbox[lavender]{ e^{-(x-b)^2}} \ \bbox[mistyrose]{ e^{-(y-a)^2}} (\text{ separabile in } x \ y)\\
\end{array}
\right \}
\to
\psi(x,y) = \bbox[lavender]{e^{-(x-a)^2}} \ \bbox[mistyrose]{ e^{-(y-b)^2}} + \bbox[lavender]{e^{-(x-b)^2}} \ \bbox[mistyrose]{ e^{-(y-a)^2}} (\text{ non separabile in } x \ y)
$$
- per una misura per $x$ si hanno probabilità non nulle di rivelare la particella negli intorni di $a$ e $b$
- per una misura per $y$ si hanno probabilità non nulle di rivelare la particella negli intorni di $a$ e $b$




Se eseguiamo un misura di posizione per $x$ e troviamo, per esempio, $a$ si ha:
$$
\begin{array}{c}
e^{-(x-a)^2} e^{-(y-b)^2} + e^{-(x-b)^2} e^{-(y-a)^2}
\\
\downarrow
\\
\text{ misura per x con valore } a
\\
\Downarrow
\\
\underbrace{\delta(x-a)}_{\psi_x(x)}\underbrace{[e^{-(y-b)^2}+e^{-(a-b)^2-(y-a)^2}]}_{\psi_y(y)} \cong \underbrace{\delta(x-a)}_{\psi_x(x)}\underbrace{e^{-(y-b)^2}}_{\psi_y(y)}
\end{array}
$$
da cui si vede anche che dopo la misura la funzione d'onda diventa separabile: $\psi(x,y) = \psi_x(x) \psi_y(y)$ ed è uno stato determinato per $x$.
Se disegniamo la funzione d'onda dopo la misura si ha:




dove si vede che ora in una misura per $x$ si ha probabilità $1$ di ottenere $a$ e che in una misura per $y$ si hanno probabilità di ottenere valori solo in un intorno di $b$, a differenza del fatto che prima della esecuzione della misura per $x$ si avevano probabilità di ottenere valori per $y$ negli intorni sia di $b$ che di $a$: una misura su $x$ fa cambiare anche le probabilità di rivelazione per $y$.

Un caso chiaro in cui una misura per un'osservabile fa cambiare le probabilità di un'altra osservabile è quello in cui una particella sia in sovrapposizione di stati determinati sia per $x$ che per $y$. Ad esempio:
$$
\begin{array}{ccl}
\psi_{ab}(x,y) = \delta(x-a)\delta(y-b) & \to & \text{ particella in uno stato determinato per } x \text{ con valore } a \text{ e per } y \text{ con valore } b
\\
\psi_{ba}(x,y) = \delta(x-b)\delta(y-a) & \to &\text{ particella in uno stato determinato per } x \text{ con valore b } \text{ e per } y \text{ con valore } a
\\
\downarrow & &
\\
\psi(x,y) = \frac{1}{\sqrt 2}\psi_{ab}(x,y) + \frac{1}{\sqrt 2} \psi_{ba}(x,y) & \to & \text{ particella in uno stato indeterminato sia per } x \text{ che per } y
\end{array}
$$
Sia in una misura per $x$ che per $y$ i possibili valori sono $a$ o $b$, quindi abbiamo una funzione che non è uno stato determinato né per $x$, né per $y$.
Supponendo di ottenere $a$ in una misura per $x$, si ha:

$$\begin{array}{ccc}
\psi(x,y) =\frac{1}{\sqrt 2} \psi_{ab}(x,y) + \frac{1}{\sqrt 2} \psi_{ba}(x,y) & \to & \text{ particella in uno stato indeterminato sia per } x \text{ che per } y
\\
\downarrow & &
\\
\text{ misura per } x \text{ con valore } a \text{ con probabilità } \frac{1}{ 2} = 0.5 & &
\\
\Downarrow & &
\\
\psi_{ab}(x,y) = \delta(x-a)\delta(y-b) & \to & \text{ particella in uno stato determinato sia per } x \text{ che per } y
\end{array}$$

ossia una misura per un'osservabile rende determinata anche l'altra osservabile.

x y determinati
É importante notare anche il fatto che nonostante una misura per $x$ possa fornire i risultati $\{a, b\}$ e che una misura per $y$ ossia possa fornire i risultati $\{a, b\}$, se eseguiamo misure per $x$ e per $y$ contemporaneamente, o prima per $x$ e poi per $y$ (o viceversa) ,i risultati possibili sono solo $\{a,b\},\{b,a\}$: i risultati $\{a,a\}$ e,$\{b,b\}$ sono impossibili.
Questo perché la $\psi$ non è composta da tutte le possibili coppie di stati determinati per $x$ e $y$, ma solo dalle coppie $\{a,b\}$ e $\{b,a\}$ per cui una misura per $x$ o per $y$ pone la funzione d'onda già in uno stato determinato anche per l'altra osservabile $y$ o $x$:
sovrapposizione X Y


Quando una funzione d'onda dipende da più variabili, ma non è separabile, si dice anche che le variabili sono entangled (intrecciate).
In generale una funzione d'onda può essere sempre espressa come combinazione lineare di funzioni d'onda singolarmente separabili:
$$ \psi(x,y) = \sum_i^N c_i \psi_{xi}(x) \psi_{yi}(y) $$
Se per uno stato si ha un solo $c_i$ diverso da zero ($\to \psi = \psi_{xi}\psi_{yi}$), allora lo stato $\psi(x,y)$ è separabile, altrimenti è entangled; se tutti i $c_i = 1 / \sqrt{N}$, ossia sono tutti diversi da zero e tutti uguali, si dice che lo stato è massimamente entangled.
Dopo una misura per $x$ o per $y$ lo stato diventa separabile
$$\begin{array}{cc}
\psi(x,y) = \sum_i^N c_i \psi_{xi}(x) \psi_{yi}(y) & \to \text{ stato entangled }
\\
\downarrow
\\
\text{ misura per } x \text{ con valore associato allo stato } \psi_{xi}
\\
\Downarrow
\\
\psi(x,y) = \psi_{xi}\psi_{yi} & \to \text{stato separabile}
\end{array}
$$
Quando due osservabili commutano esiste sempre uno stato per cui esso è determinato per entrambe, ad esempio lo stato rappresentato dalla funzione d'onda
$$ \psi(x,y) = \delta(x- a) \delta(y-b) \to \text{ probabilità 1 di ottenere } a \text{ per una misura per x } \text{ e probabilità 1 di ottenere } b \text{ per una misura per y } $$
e questa funzione è separabile in $\{x,y\}$, ossia le osservabili $x$ e $y$ non sono entangled.
Se una funzione d'onda è non separabile in $\{x,y\}$, ossia le osservabili $x$ e $y$ sono entangled, allora non è più possibile avere uno stato determinato sia per $x$ che per $y$, ad esempio per la funzione
$$ \psi(x,y) = \delta(x- a) \delta(y-b) +\delta(x- b) \delta(y-a) \to \text{ particella in uno stato indeterminato sia per } x \text{ che per } y $$
indterminazione X Y

Esiste sempre, però, un'altra osservabile per cui la $\psi(x,y)$ è un stato determinato per essa (per qualunque funzione d'onda esiste un'osservabile per cui essa è uno stato determinato). Nel caso precedente se si cambia sistema di riferimento ponendosi al centro fra $a$ e $b$ per cui si ha $a = -b$, per rendere più semplice il calcolo si ha:
XY C

allora per l'osservabile $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ tale stato è uno stato determinato con valore $\sqrt{a^2+b^2}$: se si misura la distanza dal centro si ha sempre (probabilità $1$) di ottenere tale valore.

Correlazione e indipendenza statistica

Supponiamo di eseguire su una serie di sistemi, tutti preparati in modo identico, una misura per l'osservabile $O_a$ e una per l'osservabile $O_b$, che forniscono la coppia di valori $\{o_a, o_b\}$ e, non avendo una conoscenza completa del sistema, può essere previsto solo probabilisticamente.
Nonostante i valori $o_a$ e $o_b$ presi singolarmente siano casuali, può essere che tra loro esista una correlazione, ossia una relazione fra $o_a$ e $o_b$: ad esempio
- ad ogni valore di $o_a$ potrebbe corrispondere un solo e ben preciso valore di $o_b$,
- se $o_a$ risulta appartenere ad un certo intervallo, allora anche $o_b$ appartiene ad un certo intervallo.
Se grazie alla conoscenza del valore dell'osservabile di $O_a$ abbiamo una maggiore conoscenza, e quindi una previsione più precisa, per il valore dell'osservabile $O_b$, allora si dice che queste osservabili sono correlate: data una serie di coppie valori $\{o_a, o_b\}$ ottenuti da N misure, la statistica ci fornisce un metodo per calcolare un indice, che varia da $-1$ a $+1$, per valutare se esiste o meno una correlazione tra i valori: $\rho_{ab} = \frac{\sigma_{ab}}{\sigma_a \sigma_b} $: se vale $0$ non si ha correlazione, altrimenti si ha correlazione, e quando assume i valori estremi, $\pm 1$, si ha correlazione perfetta, cioè ad ogni valore di $o_a$ corrisponde un unico valore di $o_b$
$$
-1 \le \rho_{ab} \le +1
\begin{cases}
\begin{array}{l}
\rho_{ab} = 0 & \to & \text{ nessuna correlazione } \\
\rho_{ab} \ne 0 & \to & \text{ correlazione } \\
\rho_{ab} = \pm 1 & \to & \text{ correlazione perfetta } \to o_b=f(o_a)
\end{array}
\end{cases}
$$
Sia $P(o_a)$ la probabilità di ottenere il valore $o_a$ per l'osservabile $O_a$, $P(o_b)$ la probabilità di ottenere il valore $o_b$ per l'osservabile $O_b$ e $P(o_a, o_b)$ la probabilità di ottenere la coppia $\{o_a, o_b\}$, le osservabili $O_a$ e $O_b$ si dicono indipendenti se e solo se la probabilità di ottenere al coppia $\{o_a, o_b\}$ è il prodotto delle probabilità di ottenere i singoli valori $o_a$ e $o_b$ :
$$
O_a \text{ e } O_b \text{ indipendenti } \leftrightarrow P(o_a,o_b) = P(o_a)P(o_b)
$$
In questo caso, ossia se $O_a$ e $O_b$ sono indipendenti, allora si ha anche correlazione nulla fra di loro, ma il contrario non è vero: esistono casi in cui si può avere correlazione nulla, ma le osservabili non sono indipendenti, ossia anche se $\rho_{ab} = 0$ si può avere che $P(o_a,o_b) \ne P(o_a)P(o_b)$:
indipendenza-correlazione
Si ha corrispondenza fra indipendenza e correlazione se la distribuzione delle due osservabili è gaussiana.

Correlazione non significa necessariamente che esiste un legame diretto fra $o_a$ e $o_b$, ossia che $o_a$ è causa di $o_b$ (o viceversa), ma può esistere un terza osservabile $O_c$ correlata sia ad $O_a$ che ad $Ob$ e che sia questa che determini la correlazione fra $O_a$ e $O_b$. Un tipico caso che si illustra in statistica è quello del 'numero dei pompieri' e del 'numero di vittime': sono valori correlati, in quanto si registra che maggiore è il numero dei pompieri intervenuti in un incendio, maggiore è il numero delle vittime ($\rho_{ab} > 0$): questo non significa che è il numero dei pompieri che fa aumentare il numero delle vittime, ma che esiste una terza osservabile, 'gravità dell'incendio', che all'aumentare di questa, fa aumentare sia il numero dei pompieri intervenuti sia il numero di vittime.
Se definiamo le osservabili
- $O_{a}$: numero di pompieri
- $O_{b}$: numero di vittime
si ha che $\rho_{ab} \gt 0$, perché all'aumentare di $O_{a}$ (numero di pompieri), aumenta anche $O_{b}$ (numero di vittime) e si ha $P(o_a,o_b) \ne P(o_a)P(o_b)$ ($O_a$ e $O_b$ osservabili non indipendenti).
Se introduciamo anche l'osservabile
- $O_{c}$: gravità dell'incendio
si ha che $\rho_{ac} \gt 0$ e $\rho_{bc} \gt 0$ in quanto all'aumentare di $O_{c}$ (gravità dell'incendio) aumenta anche $O_{a}$ (numero di pompieri) e $O_{b}$ (numero di vittime)
Se prendiamo solo gli incendi di una certa gravità, ossia dato un valore per $O_c$, si ha che $O_a$ e $O_b$ diventano indipendenti e non correlate:
- $\rho_{ab}(o_c) = 0$: data la gravità dell'incendio $o_c$ si ha che $O_{a}$ (numero di pompieri) e $O_{b}$ (numero di vittime) sono incorrelate
- $P(o_a,o_b; o_c) = P(o_a; o_c)P(o_b; o_c)$: data la gravità dell'incendio $o_c$, $O_{a}$ (numero di pompieri) e $O_{b}$ (numero di vittime) diventano osservabili indipendenti:

punti materiali indipendenza correlazione
Come esempio più "meccanico", possiamo prendere un dispositivo $C$ che invia coppie di corpuscoli. In una prima configurazione questo dispositivo invia, in modo del tutto casuale, un corpuscolo nella regione $a_1$ o nella regione $a_2$ e un corpuscolo nella regione $b_1$ o nella regione $b_2$; quindi, definendo le osservabili
- $O_{a}$: corpuscolo trovato nella regione sinistra e può assumere i valori $a_1$ e $a_2$ se si trova il corpuscolo rispettivamente nella parte alta o bassa,
- $O_{b}$: corpuscolo trovato nella regione destra e può assumere i valori $b_1$ e $b_2$ se si trova il corpuscolo rispettivamente nella parte alta o bassa,
abbiamo le probabilità:
$$
O_a \to
\begin{cases}
P(a_1) = 0.5 \\ P(a_2) = 0.5
\end{cases}
\\
O_b \to
\begin{cases}
P(b_1) = 0.5 \\ P(b_2) = 0.5
\end{cases}
$$
ossia abbiamo uguali probbailità di trovare il corpuscolo nelle regioni alta e bassa, sia per $O_a$ che per $O_b$.
Gli eventi composti possibili per $O_a$ e $O_b$ e le loro probabilità sono:
$$
O_a, O_b \to
\begin{cases}
P(a_1, b_1) = 0.25 = P(a_1)P(b_1) \\
P(a_2, b_2) = 0.25 = P(a_2)P(b_2) \\
P(a_1, b_2) = 0.25 = P(a_1)P(b_2)\\
P(a_2, b_1) = 0.25 = P(a_2)P(b_1)\\
\end{cases}
$$ da cui si vede che $O_a$ e $O_b$ sono indipendenti e non correlate:
$$P(o_a, o_b) = P(o_a)P(o_b) , \ \ \rho{ab} = 0$$

punti materiali correlazione
Ora supponiamo che il dispositivo $C$, sempre in modo del tutto casuale, invii i corpuscoli o solo nelle regioni $a_1, b_2$ o solo nelle regioni $a_2, b_1$. Le probabilità per le osservabili $O_a$ e $O_b$ sono:
$$
O_a \to
\begin{cases}
P(a_1) = 0.5 \\ P(a_2) = 0.5
\end{cases}
\\
O_b \to
\begin{cases}
P(b_1) = 0.5 \\ P(b_2) = 0.5
\end{cases}
$$
che sono uguali al caso precedente, ma ora gli eventi composti possibili per $O_a$ e $O_b$ e le loro probabilità sono:
$$
O_a, O_b \to
\begin{cases}
\begin{array}{}
P(a_1, b_1) = 0 & \ne P(a_1)P(b_1) \\
P(a_1, b_2) = 0.5 & \ne P(a_1)P(b_2)\\
P(a_2, b_1) = 0.5 & \ne P(a_2)P(b_1)\\
P(a_2, b_2) = 0 & \ne P(a_2)P(b_2)0
\end{array}
\end{cases}
$$
$$P(o_a, o_b) \ne P(o_a)P(o_b) , \ \ \rho{ab} = 1$$
da cui si vede che $O_a$ e $O_b$ sono dipendenti e correlate, anzi abbiamo una correlazione perfetta, in quanto conosciuto un valore per $O_a$ conosciamo anche quello per $O_b$, infatti $a_1 \to b_2$, $a_2 \to b_1$, e viceversa $b_1 \to a_2$, $b_2 \to a_1$.

Se introduciamo anche l'osservabile $O_{c}$ che ci dice se il dispositivo $C$ invia i corpuscoli nella regione alta o nella regione bassa, questa osservabile può assumere due valori:
- $c_1$: corpuscoli inviati nelle regioni $a_1, b_2$,
- $c_2$: corpuscoli inviati nelle regioni $a_2, b_1$.
Questa osservabile è correlata sia con $O_a$ e $O_b$ con correlazione perfetta: $\rho_{ac} = 1$ e $\rho_{bc} = 1$ in quanto se $O_c= c_1 \to O_a= a_1, O_b= b_2$ e se $O_c= c_2 \to O_a= a_2, O_b= b_2$.
$O_a$ e $O_b$ non sono indipendenti rispetto a $O_c$; $P(o_c, o_a) \ne P(o_c) P(o_a)$ e $P(o_c, o_b) \ne P(o_c)P(o_b)$, infatti tra l'osservabile $O_c$ e le osservabili $O_a$ e $O_b$ vi è una relazione di causa-effetto.
Come nel caso degli incendi, se suddividiamo le statistiche di $O_a$ e $O_b$ per i diversi valori di $O_c$ allora $O_a$ e $O_b$ diventano non correlate e indipendenti; infatti, ad esempio, per $O_c = c_1$ si ha:
$$O_c = c_1 \to
\begin{cases}
O_a \to
\begin{cases}
P(a_1) = 1 \\ P(a_2) = 0
\end{cases}
\\
O_b \to
\begin{cases}
P(b_1) = 0 \\ P(b_2) = 1
\end{cases}
\\
O_a, O_b \to
\begin{cases}
P(a_1, b_1) = 0 = P(a_1)P(b_1) \\
P(a_1, b_2) = 1 = P(a_1)P( b_2) \\
P(a_2, b_1) = 1=P(a_2)P( b_1) \\
P(a_2, b_2) = P(a_2)P( b_b) 0
\end{cases}
\end{cases}
$$
ossia, in definitiva, $O_c$ è l'osservabile che è causa della correlazione che misuriamo per $O_a$ e $O_b$, quindi abbiamo che
$$P(o_a,o_b; o_c) = P(o_a;o_c)P(o_b;o_c)$$
ossia, la probabilità di avere l'evento $\{o_a,o_b\}$, dato $o_c$, è uguale al prodotto delle probabilità di avere gli eventi $o_a$ e $o_b$, dato $o_c$.

Principio di separabilità-località

"separabilità: Nelle scienze fisiche, tesi, nota anche come principio di località (➔ località), secondo la quale la realtà sarebbe costituita da entità (particelle, campi) localizzate in regioni distinte dello spazio." [http://www.treccani.it/enciclopedia/separabilita/ ]

"In brief, what Einstein argues is that the incompleteness of quantum mechanics follows from the conjunction of two assumptions. The first, which I call the ‘separability principle’, asserts that any two spatially separated systems possess their own separate real states. The second, the ‘locality principle’ asserts that all physical effects are propagated with finite, subluminal velocities, so that no effects can be communicated between systems separated by a space-like interval." [Don Howard, "EINSTEIN ON LOCALITY AND SEPARABILITY" ]

"Inoltre, è caratteristico degli oggetti fisici l’essere concepiti come disposti in un continuo spazio-temporale; in questa disposizione, appare essenziale il fatto che in un dato istante gli oggetti considerati dalla fisica reclamino un’esistenza singola autonoma in quanto «collocati in regioni distinte dello spazio» ... Caratteristico della reciproca indipendenza tra due oggetti spazialmente separati (A e B) è il seguente principio...: un influsso esterno esercitato su A non ha alcun influsso su B ..." [Accluso in una lettera di Einstein a Max Born 1971, p. 201 e riportato da J.S. Bell in "I calzini di Bertlmann e la natura della realtà - Dicibile e indicibile in meccanica quantistica", p. 192]

"Ipotesi 1: le predizioni della meccanica quantistica sono giuste; ipotesi 2: nessuna interazione può propagarsi con velocità superiore a quella della luce (causalità relativistica); ipotesi 3: quando due oggetti sono molto lontani l'uno dall'altro è possibile parlare separatamente degli elementi della realtà fisica di ciascuno di essi.[...]
Il nocciolo del dibattito sta dunque nel concetto di realtà fisica separabile. Secondo Einstein il mondo può essere concepito come formato di entità localizzabili nello spazio-tempo dotate di proprietà che costituiscono la loro realtà fisica; tali entità possono interagire localmente in senso relativistico, cioè a dire attraverso interazioni che non si propaghino con velocità superiore a quella della luce"
["Meccanica quantistica, verifiche sperimentali2 di Alain Aspect e Philippe Grangier - Enciclopedia del Novecento II Supplemento (1998), http://www.treccani.it/enciclopedia/meccanica-quantistica-verifiche-sperimentali_(Enciclopedia-del-Novecento)/ ]

"L'esperienza mostra, tuttavia, che non esistono nella natura interazioni istantanee. Per questa ragione, la meccanica, che parte dall'ipotesi della propagazione istantanea delle interazioni, contiene una certa imprecisione. In realtà, se uno dei corpi interagenti subisce qualche cambiamento, la ripercussione su un altro corpo del sistema si produrrà dopo un certo intervallo di tempo. Soltanto alla fine di questo intervallo di tempo il secondo corpo subirà processi dovuti a questo cambiamento. Dividendo la distanza tra i due corpi per questo intervallo di tempo, troviamo la «velocità di propagazione delle interazioni»."
[Landau-Lifsits, Teoria dei campi, pag. 14]

I modelli matematici della fisica classica ci danno una visione del mondo in cui il principio di separabilità è fodamentale: B. d’Espagnat lo esprime con queste parole:
"Ci riferiamo alla concezione secondo cui un sistema fisico esteso può - e dovrebbe - essere sempre analizzato nelle sue parti. ... Più in particolare, si può dire che la regola di ispirazione cartesiana, secondo cui un sistema fisico esteso può, e dovrebbe, essere diviso dal pensiero in elementi più o meno localizzati (connessi da forze) è una delle regole implicite ma fondamentali dell'intera fisica classica" [B. d’Espagnat, Veiled Reality. An Analysis of Present-Day Quantum Mechanical Concepts, Addison-Wesley,Reading (Mass.), come riportato da Federico Laudisa in LA CAUSALITÀ NELLA FISICA DEL XX SECOLO: UNA PROSPETTIVA FILOSOFICA, evidenziazione mia]

Date due zone spaziali separate $A$ e $B$, all'istante $t$, possiamo pensare che in queste due zone vi siano due sistemi $S_a$ e $S_b$ distinti, dove per distinti si intende che si possono studiare e modellare singolarmente, come se l'altro non esistesse e l'esecuzione di una misura su di uno non influenza i risulati di misure eseguite sull'altro sistema, se non dopo un intervallo di tempo che dipende dalla distanza fra i due sistemi.
Questo significa che $S_a$ e $S_b$ hanno, a ogni istante $t$, il loro proprio stato, $s_a$ e $s_b$, composto solo da osservabili definibili (misurabili) solo all'interno delle regioni $A$ e $B$ e tramite i quali possiamo calcolare il valore di qualunque loro osservabile, ossia per qualunque osservabile $O_a$ di $S_a$ e $O_b$ di $S_b$ esistono delle funzioni $O_a = f_a(s_a)$ e $O_b = f_b(s_b)$.
La separazione spaziale dei sistemi implica anche che, se noi compiamo un'azione su un sistema (ad esempio una misura non ideale/perfetta) che ne modifica lo stato (modifica il valore di una qualche sua osservabile), questa variazione si può ripercuotere su un altro sistema, separato dal primo da una distanza $\Delta x$, solo dopo un tempo $\Delta x / c \gt 0$ dove $c$ è la velocità della luce.
Località: un'azione ha effetti solo nei dintorni del luogo in cui è avvenuta, e questi effetti si possono propagare ad altre regioni spaziali solo a velocità finita.

La separazione spaziale e l'azione locale, secondo Einstein, sono una necessità della fisica:
«La seguente idea caratterizza l'indipendenza relativa di oggetti molto lontani nello spazio (A e B): un'influenza esterna su A non ha un'influenza diretta su B; ciò è noto come il Principio di Azione Locale, che è usato regolarmente solo nella teoria di campo. Se questo assioma venisse ad essere completamente abolito, l'idea dell'esistenza di sistemi quasi-chiusi, e perciò la postulazione delle leggi che possono essere verificate empiricamente nel senso accettato, diverrebbe impossibile.»
[Albert Einstein, Quanten-Mechanik und Wirklichkeit, Dialectica 2:320-324, 1948]

Su questo è chiara la frase di Hendrik Casimir, riportata da Bell in "Dicibile e indicibile in meccanica quantistica":
"Se i risultati degli esperimenti sulla caduta libera effettuati qui ad Amsterdam dipendessero in modo significativo dalla temperatura del Monte Bianco, dal livello della Senna sotto Parigi e dalla posizione dei pianeti, allora non si andrebbe molto lontano." [Hendrik Casimir, citato in "La nouvelle cuisine" da J.S. Bell].

Si deve distinguere fra lo stato di un sistema e la conoscenza che noi abbiamo su di esso.
Supponiamo di avere una scatola in cui qualcuno ha inserito una pallina bianca o nera: possiamo non conoscere il valore dell'osservabile colore del nostro sistema, ma questo non vuol dire che l'osservabile colore non abbia un valore ben determinato.
Supponiamo di avere una scatola con due palline, una bianca e una nera e che la scatola venga divisa in due parti, ciascuna con una pallina dentro, e che le parti vengano separate spazialmente a una distanza molto grande, ad esempio trasportando una scatola su Giove e oltre. Se noi apriamo la scatola che è rimasta presso di noi e verifichiamo che la pallina al suo interno è, ad esempio bianca, deduciamo che la pallina su Giove è nera: ciò non significa, ovviamente, che la nostra azione ha modificato lo stato della pallina su Giove, anche se abbiamo acquisito ora una maggiore conoscenza del suo stato: come l'azione dell'aprire la scatola rimasta presso di noi non ha modificato il colore della pallina, questa azione non ha modificato neppure il colore della pallina su Giove: la pallina presso di noi era bianca (o nera) anche prima della misura e la pallina su Giove era nera (o bianca) anche prima della misura.
Se invece la nostra azione sulla pallina ne altera lo stato, ad esempio modificandone la posizione, allora anche la pallina su Giove subirà un cambio di posizione (almeno idealmente), ma questo solo dopo un tempo $\Delta t \gt \Delta (\text{Giove } - \text{ Terra})/c$.

Più particelle: una funzione d'onda, un sistema, entanglement

"I'll get right to the point: A system of two particles has only one wavefunction.
Read that sentence aloud. Repeatedly. It takes some getting used to.
And it gets worse: A system of three particles, or four, or $\mathsf{10^{23}}$, also has only one wavefunction."
[Multiple Particles, Daniel V. Schroeder, https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/MultipleParticles.pdf ]

"Anche se la propagazione di segnali superluminali è fuori questione, l’esistenza di stati intrecciati sembra porre alcuni problemi, o almeno sembra richiedere un radicale revisione di alcuni criteri fondamentali della ricerca scientifica: per es. quello della separabilità dei sistemi fisici. S’intende con questo che è possibile non tener conto, nello studio di un certo sistema, di tutto ciò che è sufficientemente lontano (pur di prendere precauzioni ovvie, come quella di schermare il sistema da radiazioni, ecc.). Si può esprimere il concetto con una battuta: “qui sulla Terra possiamo disinteressarci di ciò che accade sull’altra faccia della Luna.” Che sia possibile realizzare stati intrecciati, per es. di due fotoni separati spazialmente, è ormai confermato sperimentalmente al di la` di ogni dubbio; sembra che si possa estrapolare il risultato degli esperimenti al modo che ora vogliamo descrivere. In sostanza, l’idea degli stati intrecciati è che secondo la m.q. un sistema composto di due parti non può essere descritto come due sistemi distinti" ["Non località e segnali superluminali", prof. Elio Fabri. http://www.sagredo.eu/lezioni/fmq/fmq05.pdf ]

"la meccanica quantistica descrive una coppia di oggetti entangled come un unico sistema quantistico complessivo, impossibile da pensare come due oggetti singoli, persino quando i due componenti sono lontani uno dall'altro." [Alain Aspect, nell'introduzione di "Dicibile e Indicibile in Meccanica Quantistica" di John S. Bell, pag. 165 ]

Grangier 2
Nell'apparato indicato nella figura sopra, il cristallo denominato BBO 'produce' due fotoni (linee rosse) dal singolo fotone in ingresso (linea blu) e quindi è possibile che i rivelatori A e B possono scattare contemporaneamente: entrambi possono rivelare una particella nello stesso istante. Per modellare questa situazione abbiamo bisogno di un modello matematico che ci permetta di avere/calcolare le probabilità di rivelazione sia in A che in B al tempo $t$ .
Una funzione che possa darci questo è una funzione di due variabili $x_a$ e $x_b$, oltre, ovviamente, al tempo:
$$\Psi(x_a, x_b,t)$$
Questa funzione ci permette di avere la densità di probabilità di rivelare particelle in $x_a$ e in $x_b$ al tempo $t$:
$$\rho(x_a, x_b, t) = |\Psi(x_a, x_b,t)|^2dx_adx_b$$
La notazione $x_a$ e $x_b$ non sta a indicare due valori della variabile $x$, ma due vere e proprie variabili diverse e indipendenti.

multi partcella x1 x2
Si può pensare di deviare i due raggi in zone separate $A$ e $B$ in cui vi sono i rivelatori $A_1, A_2, \ldots$ che ci dicono per quale valore di $x_a$ si ha una rivelazione ($a_1, a_2, \ldots$) e i rivelatori $B_1, B_2, \ldots$ che ci dicono per quale valore di $x_b$ si ha una rivelazione ($b_1, b_2, \ldots$): la probabilità di avere un evento di rivelazione nell'intervallo $[a_1, a_2]$ di $x_a$ e nell'intervallo $ [b_1, b_2]$ di $x_b$ al tempo $t$ è:
$$ P_{[a_1, a_2][b_1, b_2]} = \int_{a_1}^{a_2} \int_{b_1}^{b_2} |\Psi(x_a, x_b, t)|^2dx_adx_b$$
Possiamo anche calcolare la densità di probabilità di avere un evento di rivelazione in $A$ indipendentemente da $B$: è la densità di probabilità $\rho(x_a, x_b, t)$ in cui, per rendersi indipendente da $x_b$, si calcola l'integrale su tutto $x_b$
$$\rho(x_a, t) = \int_{\infty}^{+\infty} |\Psi(x_a, x_b,t)|^2dx_b$$
per cui, ad esempio, la probabilità di avere un evento di rivelazione nell'intervallo $[a_1, a_2]$ indipendentemente da quello che succede nella regione $B$ è
$$ P_{[a_1, a_2]} = \int_{a_1}^{a_2} \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x_a, x_b, t)|^2dx_adx_b$$

Come al solito, la probabilità di avere una rivelazione su tutto $x_a \in [-\infty, +\infty]$ e su tutto $x_b \in [-\infty, +\infty]$ (si ha un rivelatore che copre tutto $x_a$ e un rivelatore che copre tutto $x_b$) deve essere certa, per cui:
$$ P_{[-\infty, +\infty][-\infty, +\infty]} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x_a, x_b, t)|^2dx_adx_b = 1$$
Se avessimo una situazione sperimentale tale per cui si possono rivelare contemporaneamente $n$ particelle (avere $n$ eventi di rivelazione contemporanei), allora la funzione d'onda che descrive questo sistema deve essere una funzione di $n$ variabili più il tempo:
$$\Psi(x_a, x_b, x_c, \cdots , t)$$

Tra gli specchi che deviano i raggi nelle regioni $A$ e $B$ e i rivelatori, inseriamo un beam splitter che suddivide il raggio in due per cui è possibile rivelare le particelle in $a_1$ o $a_2$ e in $b_1$ o $b_2$. In questo caso i risultati in $A$ sono non correlati da quelli in $B$ ($\rho_{AB} = 0$) e indipendenti $P(x_a,x_b) = P(x_a)P(x_b)$: ogni volta che si rivela una particella in $A$ si rivela una particella anche in $B$ e la rivelazione in $a_1$ o $a_2$ non è wcorrelata alla rivelazione in $b_1$ o $b_2$.
multiparticella gaussiana
Gli stati determinati per le osservabili posizione $ x_a$ e $x_b$ sono:
$$
\begin{array}{}
a_1 \to \bbox[lavender]{\psi_{a_1} = \delta (x_a -a_1)}
\\
a_2 \to\bbox[lavender]{\psi_{a_2} = \delta (x_a -a_2)}
\\
b_1 \to \bbox[mistyrose]{\psi_{b_1} = \delta (x_b -b_1)}
\\
b_2 \to \bbox[mistyrose]{\psi_{b_2} = \delta (x_b -b_2)}
\end{array}
$$
Mentre per il sistema complessivo $A+B$ gli stati determinati per l'osservabile posizione $ x_{ab}$ sono:
$$
\begin{array}{}
a_1, b_1 \to \bbox[lavender]{\psi_{a_1}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_1}} = \bbox[lavender]{\delta (x_a -a_1)} \ \bbox[mistyrose]{\delta (x_b-b_1)}
\\
a_1, b_2 \to \bbox[lavender]{\psi_{a_1}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_2}} = \bbox[lavender]{\delta (x_a -a_1)} \ \bbox[mistyrose]{\delta (x_b-b_2)}
\\
a_2, b_1 \to \bbox[lavender]{\psi_{a_2}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_1}} = \bbox[lavender]{\delta (x_a -a_2)} \ \bbox[mistyrose]{\delta (x_b-b_1)}
\\
a_2, b_2 \to \bbox[lavender]{ \psi_{a_2}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_2}} = \bbox[lavender]{\delta (x_a -a_2)} \ \bbox[mistyrose]{\delta (x_b-b_2)}
\end{array}
$$
Essendo possibili come risultati tutte le coppie $\{a_1, b_1\}, \{a_1, b_2\},\{a_2, b_1\},\{a_2, b_2\}$ in modo equiprobabile, la funzione d'onda per il sistema complessivo è:
$$
\psi_{AB}(x_a, x_b) = \frac{1}{2} \psi_{a_1}\psi_{b_1} + \frac{1}{2} \psi_{a_1}\psi_{b_2} + \frac{1}{2} \psi_{a_2}\psi_{b_1} + \frac{1}{2} \psi_{a_2}\psi_{b_2}
$$
e quindi le probabilità di rivelare le particelle sono:
$$
\bbox[lavender]{P(a_1) = \frac{1}{2}} \\
\bbox[lavender]{P(a_2) = \frac{1}{2}} \\
\bbox[mistyrose]{P(b_1) = \frac{1}{2}}\\
\bbox[mistyrose]{ P(b_2) = \frac{1}{2}} \\
P(a_1, b_1) = \frac{1}{4} = \bbox[lavender]{P(a_1)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_1) }
\\
P(a_1, b_2) = \frac{1}{4} = \bbox[lavender]{P(a_1)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_2) }
\\
P(a_2, b_1) = \frac{1}{4} = \bbox[lavender]{P(a_2)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_1) }
\\
P(a_2, b_2) = \frac{1}{4} = \bbox[lavender]{P(a_2)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_2) }
$$
ossia le osservabili posizione in $A$ e in $B$ sono indipendenti e non correlate.
La funzione d'onda del sistema $A+B$, con un po' di algebra, la possiamo scrivere anche come
$$
\psi_{AB}(x_a, x_b) = \bbox[lavender]{ \frac{1}{\sqrt 2} [\psi_{a_1} + \psi_{a_2}] } \ \bbox[mistyrose]{ \frac{1}{\sqrt 2}[\psi_{b_1} + \psi_{b_2}]} = \bbox[lavender]{\psi_A(x_a)} \ \bbox[mistyrose]{\psi_B(x_b) }
$$
ossia come il prodotto di due funzioni separate in $x_a$ e $x_b$.

Se riveliamo una particella in $a_1$, la funzione d'onda diventa:
$$\psi_{AB}(x_a,x_b) =\bbox[lavender]{\delta(x_a-a_1)} \ \bbox[mistyrose]{[ \frac{1}{\sqrt 2}\delta(x_b - b_1) + \frac{1}{\sqrt 2}\delta(x_b - b_2)]} = \bbox[lavender]{\delta(x_a-a_1)}\bbox[mistyrose]{\psi_B(x_b)}
$$
Ora in $A$ la funzione d'onda è un delta di Dirac, ossia in $A$ si ha probabilità $1$ di rivelazione in $a_1$ e nulla per gli altri valori, mentre la probabilità di rivelare la particella in $B$ (per $x_b$) è rimasta invariata.

1 x 2 non entangled
Questo avviene perché la funzione d'onda $\psi_{AB}(x_a, x_b)$ di partenza non è entangled, ossia la $\psi_{AB}(x_a, x_b)$ è il prodotto di due funzioni: $\psi_A(x_a) $ e $\psi_B(x_b) $.


Se si sostituiscono i beam splitter con dei polarizing beam splitter, orientati entrambi con la stessa direzione, questi suddividono sempre in due parti il raggio, ma in modo dipendente dalla polarizzazione della luce, la rivelazione delle particelle avviene sempre in $a_1$ e $b_2$ o in $a_2$ e $b_2$ con le stesse probabilità del caso precedente, ma in questo caso i risultati in $A$ sono correlati a quelli in $B$ ($\rho_{AB} = -1$) e non indipendenti $P(x_a,x_b) \ne P(x_a)P(x_b)$. Infatti ogni volta che si rivela una particella in $A$ si rivela una particella anche in $B$, ma se la rivelazione avviene in $a_1$ allora in $B$ avviene in $b_2$ e se la rivelazione avviene in $a_2$ allora in $B$ avviene in $b_1$.
multiparticella gaussiana beamsplitter

La funzione d'onda per il sistema complessivo $A+B$ ora diventa:
$$
\psi_{AB}(x_a, x_b) = \frac{1}{\sqrt 2} \bbox[lavender]{\psi_{a_1}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_2}} + \frac{1}{\sqrt 2} \bbox[lavender]{\psi_{a_2}} \ \bbox[mistyrose]{\psi_{b_1}}
$$
essendo possibile avere come risultati solo le coppie $\{a_1, b_2\},\{a_2, b_1\}$.
Questa volta non è possibile scrivere la funzione d'onda del sistema $A+B$ come il prodotto di due funzioni separate in $x_a$ e $x_b$.

Ora le probabilità sono:
$$
\bbox[lavender]{P(a_1) = \frac{1}{2}} \\
\bbox[lavender]{P(a_2) = \frac{1}{2}} \\
\bbox[mistyrose]{P(b_1) = \frac{1}{2}}\\
\bbox[mistyrose]{ P(b_2) = \frac{1}{2}} \\
P(a_1, b_1) = 0 \ne \bbox[lavender]{P(a_1)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_1) }
\\
P(a_1, b_2) = \frac{1}{2} \ne \bbox[lavender]{P(a_1)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_2) }
\\
P(a_2, b_1) = \frac{1}{2} \ne \bbox[lavender]{P(a_2)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_1) }
\\
P(a_2, b_2) = 0 \ne \bbox[lavender]{P(a_2)} \ \bbox[mistyrose]{P(b_2) }
$$
Le probabilità singole di rilevare le particelle in $a_1$ o $a_2$ e in $b_1$ o $b_2$ sono rimaste invariate, mentre sono cambiate le probabilità composte: ora le osservabili posizione in $A$ e in $B$ sono non indipendenti e correlate.

Se riveliamo una particella in $a_1$, la funzione d'onda diventa:
$$\psi_{AB}(x_a,x_b) =\bbox[lavender]{\delta(x_a-a_1)} \ \bbox[mistyrose]{\delta(x_b - b_2) } $$
da cui si vede che anche la densità di probabilità per rivelazioni per $x_b$ si sono modificate, nonostante abbiamo avuto un evento solo in $A$, che è disgiunto e distante da $B$ quanto vogliamo: ora anche in $B$ abbiamo la certezza di avere un evento di rivelazione $b_2$ ed è 'sparita' la possibilità di rivelare una particella in $b_1$ assieme a quella in $a_2$: l'esecuzione di una misura, la rivelazione di una particella in $A$, porta a differenti probabilità di rivelazioni in $B$.
1 x 2 non entangled
Questo avviene perché la funzione d'onda $\psi_{AB}(x_a, x_b)$ di partenza è entangled, ossia la $\psi_{AB}(x_a, x_b)$ non è il prodotto di due funzioni: $\psi_A(x_a) $ e $\psi_B(x_b) $.

Un evento di misura in $A$ o $B$ fa cambiare la funzione d'onda nel suo complesso, il che significa che cambiano anche le densità di probabilità sia per $x_a$ sia per $x_b$, e questo indipendentemente da quanto siano distanti i rivelatori in $A$ e $B$: se pensiamo che $A$ sia sulla Terra e $B$ sia su Giove, se scatta un rivelatore in $A$ allora su Giove le densità probabilità di rivelare la particella cambiano.
Qualunque sia la differenza di tempo fra una rivelazione in $A$ e in $B$ e indipendentemente dalla loro distanza, una misura in $A$ (o in $B$) fa cambiare la densità di probabilità di una misura su $B$ (o $A$): se pensiamo che nei dintorni di $A$ e di $B$ vi siano due sistemi (due particelle) per questi sistemi non vale il principio di separabilità e località.
In MQ non bisogna pensare di avere due particelle, due sistemi, ma un sistema che può interagire in due zone spaziali separate: se lo stato con cui descriviamo questo sistema non è entangled, allora possiamo pensarlo come due sistemi, ciascuno con la propria funzione d'onda che evolve indipendentemente dall'altra.
Affermare che una misura su una particella fa cambiare lo stato dell'altra particella è sbagliato: la MQ ha uno stato solo per le 'due particelle' e questo dopo una misura cambia, il che comporta che possono cambiare le probabilità anche in zone spaziali diverse da dove è avvenuta la misura. Questo succede anche nel caso di una sola particella: una misura fa cambiare la densità di probabilità anche in zone distanti e/o separate da quella in cui è avvenuta la misura.
In definitiva:
- una particella: un sistema quantistico in cui è possibile avere un unico evento di rivelazione in un'unica zona;
- due particelle: un sistema quantistico in cui è possibile avere due eventi contemporanei di rivelazione in due zone spaziali distinte; se la funzione d'onda non è entangled, si possono pensare come due sistemi separati.

La MQ rimane una teoria locale solo per il fatto che il comportamento del misuratore dipende solo dall'andamento (forma) della funzione d'onda nei dintorni di esso, ma lo stato ha un comportamento non locale, nel senso che una sua variazione in una zona dovuta dall'esecuzione di una misura non si propaga in altre zone con continuità, una zona dopo l'altra, partendo dalla Terra fino ad arrivare a Giove, ma questa variazione ha effetti su Giove 'istantanei' o, per meglio dire, la parte sulla Terra e quella su Giove non si comportano come indipendenti una dall'altra nonostante la loro separazione spaziale.
Come dice Federico Laudisa in APhEx 13, 2016: "le interazioni quantistiche sono caratterizzate da una forma di dipendenza tra sistemi spazialmente separati che risulta estranea a qualsiasi teorizzazione precedente."


Particelle nella scatola (buca infinita)

Un particella nella scatola (buca infinita) ha uno stato modellato dalla funzione d'onda (la parte indipendente dal tempo):
$$\psi_{E_n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{nπ}{L}x)$$
dove $\psi_{E_n}$ è uno stato determinato di energia con valore (autovalore) $ E_n = \frac{n^2π^2\hslash^2}{2mL^2} $.
Se nella scatola si hanno due particelle (si possono avere due eventi di rivelazione contemporanei) e, supponiamo, una con energia (stato determinato) $E_1$ e l'altra con energia (stato determinato) $E_2$, la funzione d'onda del sistema è
$$ \psi_{12} = \psi_{E_1}(x_a)\psi_{E_2}(x_b)$$
che significa che in una misura di energia troveremo con certezza per la prima particella il valore $E_1$ e per la seconda il valore $E_2$.
Box 12
Se invece la funzione d'onda fosse
$$ \psi_{21} = \psi_{E_2}(x_a)\psi_{E_1}(x_b)$$
troveremo con certezza per la prima particella il valore $E_2$ e per la seconda il valore $E_1$.
Box 21
Se prendiamo una sovrapposizione dei due stati precedenti si ha entanglement fra le due particelle:
$$ \psi = \frac{1}{\sqrt 2}[\psi_{E_1}(x_a)\psi_{E_2}(x_b)+\psi_{E_2}(x_a)\psi_{E_1}(x_b)] $$
che significa che nessuna delle due particelle è in uno stato determinato di energia: per entrambe sia ha probabilità $1/2$ di rivelarle con energia $E_1$ o $E_2$, ma il sistema composto dalle due particelle è in uno stato determinato di energia con valore $E_1 + E_2$, indipendentemente da come sia distribuita l'energia per ciascuna particella.
Box 21

Se si si esegue una misura sulla prima particella e si trova, ad esempio, il valore $E_1$, allora sulla seconda particella si troverà con certezza il valore $E_2$:
$$
\begin{array}{c}
\psi = \frac{1}{\sqrt 2}[\psi_{E_1}(x_a)\psi_{E_2}(x_b)+\psi_{E_2}(x_a)\psi_{E_1}(x_b)] \\
\downarrow \\
\text{ misura in } x_a \text{ con valore di enrgia } E_1 \\
\downarrow \\
\psi = \psi_{E_1}(x_a)\psi_{E_2}(x_b)
\end{array}
$$
quindi, ora, anche in $x_b$ si ha certezza di trovare in una misura di energia il valore $E_2$: in ogni istante il valore di energia dell'intero sistema è sempre $E_1 + E_2$.

It's a jungle out there. So drink your Java.